Enunciado

Encontrar a massa total e o centro de massa de uma barra de 12 cm de comprimento, se a densidade linear da barra, num ponto P , que dista x cm da extremidade esquerda, é 5 x + 7   k g / c m .

Passo 1

A densidade linear λ de um corpo, como a barra, é definida pela seguinte expressão:

λ = M L

Onde M é a massa do corpo e L seu comprimento. Também podemos escrever isso na forma de infinitésimos de massa, d m , e de comprimento, d x , assim:

λ = d m d x

Isolando d m , cujo valor integrado é o que nos interessa ( a massa), teremos:

d m = λ ∙ d x

Passo 2

Integrando ambos os lados da sentença anterior, tendo como limite de integração o intervalo de 0 a 12 cm, temos:

M = ∫ 0 12 λ ∙ d x

No lugar de λ a gente coloca a função que ele representa: 5 x + 7 , e integramos. Vamos ter:

M = ∫ 0 12 5 x + 7 ∙ d x

M = 5 2 ∙ x 2 + 7 x 0 12

M = 5 2 ∙ 144 + 84

∴ M = 444   k g

Passo 3

O centro de massa, x - , é dado a partir da seguinte integral:

x - = 1 M ∙ ∫ x ∙ λ ∙ d x

Pro nosso caso, em que conhecendo a função que descreve λ , e o limite de integração, teremos:

x - = 1 M ∙ ∫ 0 12 x ∙ ( 5 x + 7 ) ∙ d x

x - = 1 4 44 ∙ ( 5 3 x 3 + 7 2 ∙ x 2 ) 0 12

x - = 1 4 44 ∙ ( 5 3 12 3 + 7 2 ∙ 12 2 )

∴ x - ≅ 7,6   c m

Resposta

∴ M = 444   k g

∴ x - ≅ 7,6   c m

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