Enunciado

Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 1 n 4

Passo 1

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a n = 1 n 4 ↔ f x = 1 x 4

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a n e ver se ele será sempre positivo (no nosso casoé) e se ele decresce à medida que n aumenta, o que no nosso caso também acontece!

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 ∞ 1 x 4 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 x 4 d x = lim t → ∞ ⁡ x - 3 - 3 1 t = lim t → ∞ ⁡ - 1 3 t 3 + 1 3 = 1 3

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 4   é convergente

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3-8. Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.4. ∑ n = 1 ∞ 1 n 5
Euler também descobriu a soma da série p com p = 4 : ζ 4 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 90 Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série.b) ∑ k = 5 ∞ 1 k - 2 4
9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.18. ∑ n = 3 ∞ 3 n - 4 n 2 - 2 n
3-8. Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.7. ∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1
9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.25. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n ³ ³