Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

12. ∑ k = 1 ∞ k e - k

Passo 1

Vamos aplicar o teste da razão como o enunciado pede:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Se L > 1 , a série irá divergir, e no caso de L < 1 a série vai convergir.

Como a sequência da nossa serie é a k = k e - k , o teste da razão fica:

lim k → ∞ ⁡ ( k + 1 ) e - ( k + 1 ) k e - k = L

Abrindo o termo de cima, teremos:

L = lim k → ∞ ⁡ k + 1 e - k e - 1 k e - k

Simplificando e - k :

L = lim k → ∞ ⁡ k + 1 e - 1 k

Tirando o módulo e colocando o e - 1 no denominador:

L = lim k → ∞ ⁡ ( k + 1 ) k e

Passo 2

Agora basta resolvermos o limite, para isso, vamos começar substituindo o valor:

L = lim k → ∞ ⁡ k + 1 k e

L = ∞ + 1 ∞ e = ∞ / ∞

Opa, chegamos em uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , podemos resolve-la aplicando L’hospital, derivando em cima e em baixo com relação a k

lim k → ∞ ⁡ k + 1 k e = l i m k → ∞ 1 e = 1 e

Portanto, esse limite tende a:

L = 1 e

E como o número de Euler é e ≅ 2,718 , teremos:

L = 0,3679

Então L < 1 , e podemos dizer que a série é convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
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