Enunciado

Calcule ∭ E z d V , onde E está acima do parabolóide z = x 2 + y 2 e abaixo do plano z = 2 y .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Aqui vou usar coordenadas cilíndricas. Sendo assim devemos determinar os limites de z ,   θ   e   r .

A correspondência entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas é:

x = r c o θ ,     y = r s e n θ ,     z = z

E assim o paraboloide pode ser descrito assim ó:

z = r c o s θ 2 + r s e n θ 2 ∴ z = r 2

E o plano:

z = 2 . r s e n θ ∴ 2 r s e n θ

Então a variável z está entre:

r 2 < z < 2 r s e n θ

Passo 2

Vamos ver agora a intersecção entre as curvas.

r 2 = 2 r s e n θ    

Então temos: r = 2 s e n θ que é um círculo de raio 1 e centro ( 0,1 ) . E a região de integração desse círculo é de 0 < θ < π .

Agora só falta r ! Bom, a variável varia entre 0 até esse círculo, pois é a única curva no plano x y . Então:

0 < r < 2 s e n θ

Beleza!

Relembrando que o diferencial de volume em coordenadas esféricas é: d V = r   d z . d r . d θ .

Agora é só colocar na integral de volume!

Passo 3

Legal! Substituindo tudo na integral tripla temos:

V = ∫ 0 π ∫ 0 2 s e n θ ∫ r 2 2 r s e n θ z r   d z d r d θ = ∫ 0 π ∫ 0 2 s e n θ z 2 2 r 2 2 r s e n θ r d r d θ = 1 2 ∫ 0 π ∫ 0 2 s e n θ [ 4 r 2 s e n 2 θ - r 2 ]   d r   d θ = 1 2 ∫ 0 π 4 r 3 3 s e n 2 θ - r 3 3 0 2 s e n θ d θ

Aplicando os limites pra r e fazendo a integração em θ temos (a última parte foi usado uma calculadora de integrais):

V = 1 2 ∫ 0 π 32 3 s e n 5 θ - 8 3 s e n 3 θ   d θ = 5 π 6

Beleza! É esse o volume pedido!

Resposta

5 π 6

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