Enunciado

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∬ R 4 - x 2 - y 2   d A ,

onde R = x , y   x 2 + y 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 } .

Passo 1

Devemos primeiro passar a integral para coordenadas polares lembrando que d A = r   d r   d θ e que x = r cos ⁡ θ e y = r   s e n   θ .

Como a região de integração é dentro do círculo de raio 2 , devemos ter 0 ≤ r ≤ 2 . Além disso, como estamos restritos a regiões com x ≥ 0 , devemos ter - π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 :

∬ R 4 - x 2 - y 2   d A = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2 r   4 - r 2   d r   d θ

Passo 2

Fazendo a integral em θ :

∬ R 4 - x 2 - y 2   d A = π ∫ 0 2 r   4 - r 2   d r   d θ

Para calcular a integral que resta, vamos fazer u = 4 - r 2 ⇒ d u = - 2 r   d r :

∬ R 4 - x 2 - y 2   d A = - π 2 ∫ 4 0 u   d u = π 2 2 3 u 3 0 4 = 8 π 3

Resposta

8 π 3

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