Enunciado

Utilize as coordenadas esféricas.

Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a e seu centro.

Passo 1

Queremos achar a distância média de um ponto em uma bola de raio a com relação ao seu centro. Basicamente, o que usaremos para resolver isso é o valor médio de uma função f :

M = 1 V ∭ D f x , y , z   d V

em que V é o volume da região de integração D . No nosso caso, o volume da região de integração é o volume da esfera:

V = 4 π 3 a 3

Assim,

M = 3 4 π a 3 ∭ D f x , y , z   d V

Já a função que queremos usar é a distância até à origem, que é dada por:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Usando coordenadas esféricas,

f ρ , θ , ϕ = ρ

Além disso, temos que d V = ρ 2   s e n   ϕ   d ρ   d θ   d ϕ :

∭ D f x , y , z   d V = ∭ D ρ 3   s e n   ϕ   d ρ   d θ   d ϕ

Passo 2

Como vamos considerar a esfera toda na integração, temos que

∭ D f x , y , z   d V = ∫ 0 a d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π ρ 3   s e n   ϕ   d ϕ  

Assim,

∭ D f x , y , z   d V = ∫ 0 a ρ 3   d ρ ⋅ ∫ 0 2 π d θ ⋅ ∫ 0 π s e n   ϕ   d ϕ

Portanto,

∭ D f x , y , z   d V = a 4 4 ⋅ 2 π ⋅ 2 = π a 4

Desta forma,

M = 3 4 π a 3 ∭ D f x , y , z   d V = 3 4 π a 3 ⋅ π a 4 = 3 a 4

Resposta

3 a 4

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