Enunciado

Calcule as integrais em coordenadas esféricas:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4   ∫ 0 sec ⁡ ϕ ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 s e n ϕ d ϕ d ϕ d θ

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

As técnicas utilizadas para resolver esse tipo de problema costuma ser de tipo relações trigonométricas, então é bom termos esse conhecimento para que possamos resolver o mais rápido e de forma correta.

Dito isso... Vem comigo!

Passo 2

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ( sen ϕ cos ⁡ ϕ 4 ρ 4 0 sec ⁡ ϕ )   d ϕ d θ  

∫ 0 2 π 1 4 ∫ 0 π 4 s e n ϕ sec 3 ⁡ ϕ d ϕ d θ

∫ 0 2 π 1 4 ∫ 0 π 4 t g ϕ sec 2 ⁡ ϕ d ϕ d θ

Passo 3

Façamos u = t g ϕ logo d u = sec 2 ⁡ ϕ d ϕ e quando ϕ = 0 ,   u = 0     e para ϕ = π 4 ,   u = 1 Assim:

∫ 0 2 π 1 4 ∫ 0 1 u   d u   d θ

∫ 0 2 π 1 8 u 2 0 1 d θ

1 8 ∫ 0 2 π d θ

1 8 θ 0 2 π

π 4

Resposta

π 4

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