∫ 0 π ∫ 0 π ∫ 0 2 s e n ( ϕ ) ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das técnicas a vir ser utilizados, serão somente comentadas, caso você amigo[a] se interesse, está convidado[a] a buscar a demonstração

Passo 2

∫ 0 π ∫ 0 π s e n ϕ 3 ρ 3 0 2 s e n ϕ   d ϕ d θ

∫ 0 π ∫ 0 π 2 3 3 s e n 4 ϕ d ϕ d θ

Das técnicas das integrais temos que

∫ s e n n a x d x = - s e n n - 1 a x cos ⁡ a x n a + n - 1 n ∫ s e n n - 2 a x d x

Logo:

∫ 0 π 2 3 3 - s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ 4 + 3 4 ∫ s e n 2 ϕ d ϕ 0 π d θ    

Passo 3

Sabemos que s e n 2 x = 1 2 1 + s e n 2 x

∫ 0 π 2 3 3 - s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ 4 0 2 π + 3 4 1 2 ∫ 0 π d ϕ + ∫ 0 π s e n 2 ϕ d ϕ d θ

Sabemos ∫ s e n a x = 1 a - cos ⁡ a x + C

∫ 0 π 2 3 3 0 + 3 π 2 3 + 3 4 1 2 - cos ⁡ 2 ϕ 0 π d θ

∫ 0 π π   d θ

π θ 0 π

π 2

Resposta

π 2

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