Enunciado

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Utilize um gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida, use o cálculo para achar esses valores precisamente.

f x , y = x y e - x 2 - y 2

Passo 1

Show de bola, galera. Nesse nosso primeiro passo nós iremos apresentar o gráfico da função. Em seguida, vamos calcular o que se pode observar do gráfico, beleza?

Passo 2

Show de bola, galera....Vamos às contas...

Basicamente precisaremos calcular os seguintes valores: f x , f y , f x x , f x y   e   f y y . E aí, meus amigos, não tem mistério! No Passo 3 calcularemos os pontos críticos da função ao fazer f x = 0   e   f y = 0 . No Passo 4 usaremos o Teste da Derivada Segunda ao calcularmos D = f x x f x y f y x f y y e avaliarmos o seu sinal juntamente com o sinal de f x x .

Vamos lá?

Passo 3

Calculemos os pontos críticos de f ( x , y ) da seguinte forma:

∂ f ∂ x = 0 ∂ f ∂ y = 0   ∴   y e - x 2 - y 2 1 - 2 x 2 = 0 x e - x 2 - y 2 1 - 2 y 2 = 0   ∴

∴   y 1 - 2 x 2 = 0 x 1 - 2 y 2 = 0 ⇒ P o n t o s   c r í t i c o s 0,0 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , - 1 2 , - 1 2 , 1 2 , - 1 2 , - 1 2

Passo 4

Calculemos o sinal de D = f x x f x y f y x f y y = - 2 x y e - x 2 - y 2 3 - 2 x 2 e - x 2 - y 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 e - x 2 - y 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 - 2 x y e - x 2 - y 2 3 - 2 y 2 e de f x x para os respectivos pontos críticos:

– Para x c , y c = 0,0 :

D = e - x 2 - y 2 - 2 x y 3 - 2 x 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 - 2 x y 3 - 2 y 2 0,0 = 0 1 1 0 = - 1 < 0

Como D < 0 , concluímos que x c , y c = ( 0,0 )  é um ponto de sela .

– Para x c , y c = 1 2 , 1 2 :

D = e - x 2 - y 2 - 2 x y 3 - 2 x 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 - 2 x y 3 - 2 y 2 1 2 , 1 2 = - 2 e 0 0 - 2 e = 4 e 2 > 0

f x x 1 2 , 1 2 = - 2 e < 0

Como D > 0 e f x x < 0 , concluímos que x c , y c = 1 2 , 1 2  é um ponto de máximo local .

– Para x c , y c = 1 2 , - 1 2 :

D = e - x 2 - y 2 - 2 x y 3 - 2 x 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 - 2 x y 3 - 2 y 2 1 2 , - 1 2 = 2 e 0 0 2 e = 4 e 2 > 0

f x x 1 2 , - 1 2 = 2 e > 0

Como D > 0 e f x x > 0 , concluímos que x c , y c = 1 2 , - 1 2  é um ponto de mínimo local .

– Para x c , y c = - 1 2 , 1 2 :

D = e - x 2 - y 2 - 2 x y 3 - 2 x 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 - 2 x y 3 - 2 y 2 1 2 , - 1 2 = 2 e 0 0 2 e = 4 e 2 > 0

f x x - 1 2 , 1 2 = 2 e > 0

Como D > 0 e f x x > 0 , concluímos que x c , y c = - 1 2 , 1 2  é um ponto de mínimo local .

– Para x c , y c = - 1 2 , - 1 2 :

D = e - x 2 - y 2 - 2 x y 3 - 2 x 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 1 - 2 x 2 1 - 2 y 2 - 2 x y 3 - 2 y 2 1 2 , 1 2 = - 2 e 0 0 - 2 e = 4 e 2 > 0

f x x - 1 2 , - 1 2 = - 2 e < 0

Como D > 0 e f x x < 0 , concluímos que x c , y c = - 1 2 , - 1 2  é um ponto de máximo local .

Resposta

0,0   é   u m   p o n t o   d e   s e l a - 1 2 , - 1 2   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l - 1 2 , - 1 2   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l - 1 2 , - 1 2   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l - 1 2 , - 1 2   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

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