Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

  • Exercício 55

Passo 1

Pra relembrar o que pede nesse exercício: Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L, qual é o maior volume possível?

Vamos colocar que as dimensões da caixa são x ,   y   e   z .

O volume então é f ( x , y , z ) = x y z .

O comprimento da diagonal é L = x 2 + y 2 + z 2 . A gente pode fazer o máximo da função f ( x , y , z ) com a restrição da função g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .

Pelos multiplicadores de Lagrange, precisamos de:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Passo 2

Trazendo pro nosso caso temos:

y z ,   x z , x y = λ 2 x , 2 y , 2 z

y z = λ 2 x

x z = λ 2 y

x y = λ 2 z

Pela função do volume, nenhuma das letras pode valer zero.

Vamos isolar o λ então...

λ = y z 2 x = x z 2 y = x y 2 z

Daqui a gente tira que:

y z 2 x = x z 2 y → 2 y 2 z = 2 x 2 z

y 2 = x 2

Da mesma forma a gente vê que y 2 = z 2 .

Como os valores só podem ser positivos, temos que:

x = y = z

Passo 3

Substituímos na restrição agora...  

L = x 2 + y 2 + z 2

L = 3 x 2

3 x 2 = L 2

x 2 = L 2 3

x = L 3 = y = z

E então, x = y = z = L 3 .

O volume máximo então é:

V = L 3 3

V = L 3 3 3

Resposta

V = L 3 3 3

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