Enunciado

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → .

h r , s ,   t = ln ⁡ ( 3 r + 6 s + 9 t ) ,                     1 ,   1 ,   1 ,               v → = ( 4 ,   12 ,   6 )

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada direcional de h num ponto ( a ,   b ,   c ) na direção do vetor v → .

A derivada direcional de h num ponto ( a ,   b ,   c ) em uma direção u → unitário qualquer é dada por

D u h a ,   b ,   c = ∇ h a ,   b ,   c ⋅ u →

Neste caso, v → não está normalizado:

v → = 16 + 144 + 36 = 14

Logo,

u → = v → v → = 4 14 , 12 14 , 6 14 = 2 7 , 6 7 , 3 7

Passo 2

Tomando o gradiente de h :

∇ h r ,   s ,   t = 3 3 r + 6 s + 9 t ,   6 3 r + 6 s + 9 t ,   9 3 r + 6 s + 9 t

Assim, com a ,   b ,   c = ( 1 ,   1 ,   1 ) :

∇ h 1 ,   1 ,   1 = 3 18 , 6 18 , 9 18

Portanto,

D u h 1 ,   1 ,   1 = 3 18 , 6 18 , 9 18 ⋅ 2 7 , 6 7 , 3 7

Logo,

D u h 1 ,   1 ,   1 = 6 + 36 + 27 18 ⋅ 7 = 69 18 ⋅ 7 = 23 42

Resposta

D u h 1 ,   1 ,   1 = 23 42

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