Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 ;                 x + y + z = 12

Passo 1

A questão pede para acharmos os extremos da função f sujeita a restrição dada. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange!

A restrição pode ser escrita como

g x , y , z = x + y + z - 12 = 0

Assim, os candidatos a extremos do problema devem satisfazer a equação

∇ f = λ   ∇ g

Tomando os gradientes:

∇ f = ( 2 x ,   2 y ,   2 z )

∇ g = ( 1 ,   1 ,   1 )

Assim, devemos resolver a equação

2 x ,   2 y ,   2 z = λ   1 ,   1 ,   1

Desta forma,

2 x = λ 2 y = λ 2 z = λ

Passo 2

Isolando x , y e z em função de λ :

x = y = z = λ 2

Substituindo essas relações na restrição:

λ 2 + λ 2 + λ 2 = 12 ⇒ 3 λ 2 = 12 ⇒ λ = 8

Assim, apenas um candidato a extremo de f sujeito a restrição:

( 4 ,   4 ,   4 )

Desta forma, não é possível analisar se ele é máximo ou mínimo! Note que, neste caso, a região que estamos estudando não é limitada: trata-se de um plano infinito! Assim, não podemos aplicar o teorema do valor extremo para garantir a existência de extremos!

De fato, isolando z = 12 - x - y , encontramos

f x , y ,   12 - x - y = x 2 + y 2 + 12 - x - y 2

Essa função não tem máximo, porém apresenta um mínimo em ( 4 ,   4 ) ! Assim, ( 4 ,   4 ,   4 ) é mínimo absoluto de f sujeita à restrição. Todavia, não existe um máximo!

Resposta

f 4 ,   4 ,   4 = 48     →     m í n i m o

Não tem máximo

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