Enunciado

Utilize uma tabela de valores numéricos de f x ,   y para x ,   y perto da origem para conjecturar sobre o limite de f x ,   y quando x ,   y → 0 ,   0 . Em seguida, explique por que sua conjectura está correta.

f x ,   y = 2 x y x 2 + 2 y 2

Passo 1

Pessoal, primeiro vamos fazer uma tabela com os valores de f x ,   y para vários valores de x ,   y perto da origem:

Como a tabela mostra, os valores de f x ,   y não parecem se aproximar de um único valor. Então vamos conjecturar que o limite não existe.

Passo 2

Show! Agora vamos tentar provar que nossa conjectura é verdadeira. Pra provar que o limite não existe, temos que encontrar valores diferentes de limites quando nos aproximarmos da origem por curvas diferentes.

Primeiro, vamos nos aproximar de 0 ,   0 ao longo do eixo x , ou seja, fazendo y = 0 :

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 2 x y x 2 + 2 y 2 = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 2 x   .   0 x 2 + 2   .   0 2 = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 0 x 2 = 0

E agora, ao longo da reta y = x :

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 2 x y x 2 + 2 y 2 = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 2 x 2 x 2 + 2 x 2 = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 2 3 = 2 3 ≠ 0

Realmente, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe.

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