Enunciado

Utilize a transformação dada para calcular a integral.

∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar:

∬ R f x , y d A = ∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A

Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Passo 2

Temos que ∂ x ∂ u é a derivada de x em função de u :

∂ x ∂ u = ∂ ∂ u 1 4 u + v = 1 4

E ∂ x ∂ v é a derivada de x em função de v :

∂ x ∂ v = ∂ ∂ v 1 4 u + v = 1 4

Temos que ∂ y ∂ u é a derivada de y em função de u :

∂ y ∂ u = ∂ ∂ u 1 4 v - 3 u = - 3 4

E por ultimo ∂ y ∂ v é a derivada de y em função de v :

∂ y ∂ v = ∂ ∂ v 1 4 v - 3 u = 1 4

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 1 4 1 4 - 3 4 1 4 = 1 4 . 1 4 - 1 4 . - 3 4 = 1 16 + 3 16 = 4 16 = 1 4

Passo 4

A transformação mapeia o limite de S para o limite da imagem R .

A reta com os pontos 1,5 e 3 , - 1 é y = 8 - 3 x , que tem uma imagem:

1 4 v - 3 u = - 3 1 4 u + v + 8 → v = 8

A reta com os pontos - 1,3 e 1,5 é y = x + 4 , que tem uma imagem:

1 4 v - 3 u = 1 4 u + v + 4 → u = - 4

A reta com os pontos - 1,3 e 1 , - 3 é y = - 3 x , que tem uma imagem:

1 4 v - 3 u = - 3 1 4 u + v → v = 0

A reta com os pontos 1 , - 3 e 3 , - 1 é y = x - 4 , que tem uma imagem:

1 4 v - 3 u = 1 4 u + v - 4 → u = 4

Agora temos 0 ≤ v ≤ 8 - u e - 4 ≤ u ≤ 4 no plano u v .

Passo 5

Agora vamo substituir na integral:

∬ R 4 x + 8 y d A = ∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A = ∫ - 4 4 ∫ 0 8 4 1 4 u + v + 8 1 4 v - 3 u 1 4 d v d u = ∫ - 4 4 ∫ 0 8 - 5 u + 3 v 1 4 d v d u = 1 4 ∫ - 4 4 ∫ 0 8 - 5 u + 3 v d v d u = 1 4 ∫ - 4 4 - 5 u v + 3 v 2 2 0 8 d u = 1 4 ∫ - 4 4 - 5 u . 8 + 3 . 8 2 2 - - 5 u . 0 + 3 . 0 2 2 d u = 1 4 ∫ - 4 4 96 - 40 u d u = 1 4 96 u - 20 u 2 - 4 4 = 1 4 96.4 - 20 . 4 2 - 96 - 4 - 20 - 4 2 = 192

Resposta

∬ R 4 x + 8 y d A = 192

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Sejam σ : Ω ⊂ R 2 → R 3 e φ : Ω 1 ⊂ R 2 → R 3 duas superfícies regulares nos abertos Ω e Ω 1 , respectivamente. Suponha que exista uma transformação H : Ω 1 → Ω , com H Ω 1 = Ω , dada por H : u = u s
Sejam σ : Ω ⊂ R 2 → R 3 e φ : Ω 1 ⊂ R 2 → R 3 duas superfícies regulares, sendo φ obtida de σ pela mudança de parâmentros u , v = H s , t = u s , t , v s , t (veja exercício anterior). Sejam K ⊂ Ω e K