Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 54
O valor médio de uma função em uma região sólida é definido como
Onde é o volume de . Por exemplo, se é a função densidade, então é a densidade média de .
Ache o valor médio da função na região delimitada pelo paraboloide e pelo plano .
Passo 1
Na região descrita o varia entre
E na interseção do paraboloide com temos
Que é a circunferência de raio centrada na origem. Calculando o volume
Como a região é limitada por é interessante usarmos coordenadas polares, com variação
E temos que
Como a função e nem a variação de não dependem de , já podemos resolver a integral com seu diferencial
Passo 2
Calculando então o valor médio temos
Novamente usando as coordenadas polares
Resposta
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