Enunciado

O valor médio de uma função f ( x , y , z ) em uma região sólida E é definido como

f m e d = 1 V ( E ) ∭ E f x , y , z   d V

Onde V ( E ) é o volume de E . Por exemplo, se ρ é a função densidade, então ρ m e d é a densidade média de E .

Ache o valor médio da função f x , y , z = x 2 z + y 2 z na região delimitada pelo paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 e pelo plano z = 0 .

Passo 1

Na região descrita o z varia entre

0 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2

E na interseção do paraboloide com z = 0 temos

0 = 1 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 1

Que é a circunferência de raio 1 centrada na origem. Calculando o volume

V E = ∭ E 1   d V

= ∬ D ∫ 0 1 - x 2 - y 2 1   d z d A = ∬ D 1 - x 2 - y 2   d A

Como a região D é limitada por x 2 + y 2 = 1 é interessante usarmos coordenadas polares, com variação

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

E temos que

∬ D 1 - x 2 - y 2   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 - r 2 r   d r d θ

Como a função e nem a variação de r não dependem de θ , já podemos resolver a integral com seu diferencial

= 2 π - 0 ∫ 0 1 r - r 3   d r = 2 π r 2 2 - r 4 4 0 1

= 2 π 1 2 - 1 4 = 2 π 4

V E = π 2

Passo 2

Calculando então o valor médio temos

f m e d = 2 π ∬ D ∫ 0 1 - x 2 - y 2 ( x 2 z + y 2 z )   d z d A = 2 π ∬ D ∫ 0 1 - x 2 - y 2 ( x 2 + y 2 ) z   d z d A

= 2 π ∬ D x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2 2 2   d A

Novamente usando as coordenadas polares

2 π ∬ D x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2 2 2   d A = 2 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 1 - r 2 2 2 r   d r d θ

1 π 2 π ∫ 0 1 r 3 1 - 2 r 2 + r 4 d r = 2 ∫ 0 1 r 3 - 2 r 5 + r 7 d r

= 2 r 4 4 - r 6 3 + r 8 8 0 1 = 2 1 4 - 1 3 + 1 8

2 6 - 8 + 3 24 = 1 12

Resposta

f m e d = 1 12

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