Enunciado

Para quais valores de r a função y = e r x satisfaz a equação diferencial y ' ' - 4 y ' + y = 0 ?

Passo 1

Para descobrir quais valores de r faz com que a função y = e r x satisfaça a equação diferencial y ' ' - 4 y ' + y = 0 , é preciso calcular y’ (primeira derivada) e y’’ (segunda derivada), em relação a x, substituir na equação diferencial e calcular para quais valores de r a equação diferencia da zero.

Para o cálculo da derivada vamos utilizar a regra da cadeia:

d y d t = d y d x ∙ d x d t

Passo 2

Cálculo de y’:

y ' = r e r x

Cálculo de y’’:

y ' ' = r ² e r x

Passo 3

Substituindo y’ e y’’ na equação diferencial y ' ' - 4 y ' + y = 0 :

y ' ' - 4 y ' + 13 y =   r 2 e r x - 4 r e r x + e r x = e r x ∙ r 2 - 4 r + 1 = 0

Passo 4

Para a expressão zerar, o termo r 2 - 4 r + 1 precisa ser zero. Desta forma para descobrirmos o valor de r que zera este termo vamos calcular Bhaskara:

a = 1   ;   b = - 4   ; c = 1

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r = - ( - 4 ) ± ( - 4 ) 2 - 4 ∙ 1 ∙ 1 2 ∙ 1

r = 4 ± 12 2

r 1 = 2 + 3  

r 2 = 2 - 3

Resposta

r 1 = 2 + 3  

r 2 = 2 - 3

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