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Para quais valores de m a reta y = m x e a curva y = x x 2 + 1 delimitam uma região? Encontre a área da região.

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos os valores de m para que a reta y = m x delimite uma região com a curva especificada. Utilizaremos depois os conceitos de áreas entre curvas para encontrar a área da região delimitada.

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar os pontos de interseção. Dessa forma

m x = x x 2 + 1

Resolvendo a equação, temos que

x = 0

Ou

x = ± 1 m - 1

Dessa forma, m deve estar no intervalo 0 ≤ m ≤ 1 para que haja solução.

Passo 3

Utilizando os conceitos de área entre curvas, podemos escrever a seguinte integral

A = 2 ∫ 0 1 m - 1 x x 2 + 1 - m x d x = 2 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 - 1 2 m x 2 0 1 m - 1

A = ln ⁡ 1 m - 1 + m

Resposta

A = ln ⁡ 1 m - 1 + m

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