Enunciado

Para quais valores de m a reta y = m x e a curva y = x x 2 + 1 delimitam uma região? Encontre a área da região.

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema! Temos a curva:

y = x x 2 + 1

E a reta:

y = m x

O enunciado pergunta pra que valores de m a reta e a curva acima delimitam uma região.

Pra isso precisamos encontrar os pontos de interseção. Dessa forma:

m x = x x 2 + 1

x m x 2 + 1 = x

x m x 2 + m = x

x m x 2 + m - x = 0

x m x 2 + m - 1 = 0

Passo 2

Resolvendo:

x = 0

Ou:

m x 2 + m - 1 = 0

Assim:

x = 0

x 2 = 1 - m m

x = ± 1 m - 1

Essa raiz deve ser maior que zero, então:

1 m - 1 ≥ 0

1 m ≥ 1

0 ≤ m ≤ 1

Mas quando m = 0 e m = 1 não temos reta! Teríamos y = 0 x . Dessa forma temos que m deve estar no intervalo 0 < m < 1 para que haja solução.

Passo 3

Utilizando os conceitos de área entre curvas, podemos escrever a seguinte integral

A = 2 ∫ 0 1 m - 1 x x 2 + 1 - m x d x = 2 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 - 1 2 m x 2 0 1 m - 1

A = ln ⁡ 1 m - 1 + m

Resposta

A = ln ⁡ 1 m - 1 + m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

34. Ache o centroide da região, no primeiro quadrante, limitada pela curva x + 2 2 y = 4 - x .
33. Ache o centroide da região limitada pela curva y = ( x - 1 ) / ( x 2 - 5 x + 6 ) , pelo eixo x e pelas retas x = 4ex = 6 .
25. Se R for a região do Exercício 24, use o teorema de Pappus para encontrar o volume do sólido de revolução gerado com a revolução de R em torno da reta x - y = r . (Sugestão: use o resultado do Exe
4. Ache o centro de massa de três partículas tendo massas de 3, 7 e 2kg localizadas nos pontos (2,3), (-1,4) e (0,2), respectivamente
Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.b) A região limitada pelo eixo x e pelo semicírculo y = 9 - x 2