Enunciado

Para quais valores de p a série sum_(n = 2)^(oo) 1 // ( n^p ln n ) converge?

Passo 1

Para este problema, vamos analisa-lo em parte, primeiramente, se pensarmos em valores de p < 0 , podemos perceber que seu termo em si diverge no limite

underset(n -> oo)(lim) (1)/(n^p ln n)

Como p é negativo, podemos analisar da seguinte forma

underset(n -> oo)(lim) (n^(- p))/(ln n)

Aplicando L’Hospital

underset(n -> oo)(lim) (n^(- p))/(ln n) = underset(n -> oo)(lim) (- p n^(- p - 1))/(1 // n) = underset(n -> oo)(lim) - p n^(- p) = oo

Portanto, para p < 0 a série diverge.

Passo 2

Para p = 1 , na série sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n ln n) podemos usar o teste da integral

int_2^(oo) (1)/(x ln x) d x = underset(t -> oo)(lim) int_2^t (1)/(x ln x) d x

Fazendo a substituição u = ln x , d u = (1)/(x) d x , mudando os limites de integração, u (2) = ln 2 e u (t) = ln t

underset(t -> oo)(lim) int_(ln 2)^(ln t) (1)/(u) d u = underset(t -> oo)(lim) (ln u)_(ln 2)^(ln t) = underset(t -> oo)(lim) (ln (ln t) - ln (ln 2)) = oo

Pelo teste da integral, quando p = 1 a série diverge.

Passo 3

Com 0 <= p < 1 , podemos notar que (n^p ln n) <= ( n ln n ) para n >= 2 , então podemos afirmar que

(1)/(n^p ln n) >= (1)/(n ln n)

Para a série sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n ln n) , nós provamos a divergência no passo anterior, como os termos com são maiores que o dessa série, pelo teste da comparação quando 0 <= p < 1 a série diverge.

Passo 4

Para p > 1 , podemos usar o fato de que (n^p ln n) > n^p , para n > e , então

(1)/(n^p ln n) < (1)/(n^p)

Isso vale para n >= 3 , como temos só um termo fora da comparação e ele não é divergente, não faz diferença.

Como a série sum_(n = 2)^(oo) 1 // ( n^p ) , é a série-p e sabemos que ela converge para p > 1 , Por comparação

sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n^p ln n)

Converge para p > 1 .

Resposta

p > 1

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