Teste da integral

Teoria Completa

Introdução

Jovem gafanhoto, você já viu um dos primeiros jeitos de garantir que uma série converge: garantir que ela é uma série geométrica com r < 1 .

Vou te mostrar um teste que você pode aplicar a outras séries e que também garantem a convergência! Ele se chama Teste da Integral.

Função crescente e decrescente

O teste da integral envolve funções crescente e decrescentes, então a boa é dar uma revisada nesses conceitos.

Seja f x uma função contínua em um intervalo ( a , b ) , então temos:

f   é   c r e s c e n t e   s e   e   s o m e n t e   s e   f x 1 < f x 2   q u a n d o   x 1 < x 2   f   é   d e c r e s c e n t e   s e   e   s o m e n t e   s e   f x 1 > f x 2   q u a n d o   x 1 < x 2

Ou seja, se x 2 está mais à direita do que x 1 , então para f ser crescente, f ( x 2 ) deve ser maior do que f ( x 1 ) . O contrário deve ocorrer para f ser decrescente.

Vamos lembrar agora de um teste que nos mostra se função é crescente ou decrescente:

S e   f ' x > 0   ∀   x   e m   a , b   e n t ã o   f   é   c r e s c e n t e   e m   ( a , b )   S e   f ' x < 0   ∀   x   e m   a , b   e n t ã o   f   é   d e c r e s c e n t e   e m   ( a , b ) S e   f ' x = 0   ∀   x   e m   a , b   e n t ã o   f   é   c o n s t a n t e   e m   ( a , b )

Então, se você quiser descobrir aonde a função é crescente, basta derivar e ver onde que a derivada é maior que 0. Se quiser saber onde a função é decrescente, basta ver onde a derivada é menor que 0!

Com isso, vamos ver agora o teste da integral!

Definição

O Teste da integral diz o seguinte: se temos uma função descrescente f ( x ) tal que f n = a n (ou seja, que coincide com o termo geral da série a n em todos os valores de n ), então, se a integral dessa função converge, a série também converge. Se a integral diverge, a série diverge.

De uma forma mais matemática temos

Considere a sequência a n , onde a n = f ( n ) . Sendo f uma função positiva decrescente em [ 1 ,   ∞ ) , então:

s e   ∫ 1 ∞ f x d x   c o n v e r g e ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e s e   ∫ 1 ∞ f x d x   d i v e r g e ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   d i v e r g e            

Mas olha só, a função TEM QUE SER DECRESCENTE! Se ela for crescente, com certeza a integral dela diverge e você não precisa fazer o teste da integral.

Certo, agora vamos ver como funciona esse teste, na prática!

Exemplo: Estude a convergência da série abaixo

∑ n = 1 ∞ n e - n 2

Passo 1: Temos:

a n = n e - n 2

Se definirmos

f x = x e - x 2

Temos f n = a n . Em termos práticos, nós trocamos o n por x .Como você pode ver, a função f ( x ) é relativamente simples de se integrar, o que é um indício de que o Teste da integral deve ser uma boa.

Passo 2: Vamos, agora, calcular a integral do teste

∫ 1 ∞ f x   d x = ∫ 1 ∞ x e - x 2 d x

Essa é uma integral imprópria (o intervalo de integração é infinito). Você se lembra de como calcular esse tipo de integral? Basta lembrar a seguinte propriedade:

∫ a ∞ f x d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f x d x

Ou seja, substituímos o infinito por uma variável b e depois tomamos seu limite. Vamos fazer isso nesse problema:

∫ 1 ∞ x e - x 2 d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b x e - x 2 d x

Só mudamos a forma de escrever! Agora sabemos calcular.

Sendo u = e - x 2 , temos d u = - 2 x e - x 2 d x , o que nos dá:

∫ 1 ∞ x e - x 2 d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ - d u 2 = lim b → ∞ ⁡ - u 2

= lim b → ∞ ⁡ - e - x 2 2 1 b =

= lim b → ∞ ⁡ ( e - 1 - e - b 2 ) 2

Note que

lim b → ∞ ⁡ e - b 2 = lim b → ∞ ⁡ 1 e b 2 = 0

Então

lim b → ∞ ⁡ ( e - 1 - e - b 2 ) 2 = 0 + e - 1 2 = e - 1 2

Portanto, como a integral converge, pelo Teste da integral, a série do problema também converge.

OBS: A série não precisa necessariamente começar em n = 1 . Por exemplo, se tivermos:

∑ n = 4 ∞ 1 n - 3 2

Fazemos a seguinte conta:

∫ 4 ∞ 1 x - 3 2 d x

Às vezes a série é decrescente apenas a partir de certo n . Não tem problema, a gente faz o teste da integral a partir desse valor de n ! Doideira né!? Partiu exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 667, exercício 4

Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 1 n 4

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Passo 1

Temos

a n = 1 n 4

Logo, podemos definir

f x = 1 x 4

Assim, temos f n = a n .

Passo 2

Agora devemos verificar se a função é decrescente!

f ' x = - 1 4 x x 4

Observe que se x > 0 ,   a raiz será positiva, então a derivada será negativa, ou seja, a função é decrescente!

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral com intervalo finito

∫ 1 b 1 x 4 d x = ∫ 1 b x - 1 / 4   d x =

= 4 3 x 3 / 4 1 b =

= 4 ( b 3 / 4 - 1 ) 3

Passo 4

Agora vamos tomar o limite dessa expressão que encontramos.

∫ 1 ∞ 1 x 4 d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x 4 d x = lim b → ∞ ⁡ 4 ( b 3 / 4 - 1 ) 3 = ∞

Note que lim b → ∞ ⁡ b 3 / 4 = ∞

Como a integral diverge, pelo Teste da integral, a série do problema diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 667, exercício 16

Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ n 2 n 3 + 1

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Passo 1

Olhando para a série, identificamos

a n = n 2 n 3 + 1

Assim, podemos definir

f x = x 2 x 3 + 1

O que nos dá f n = a n .

Passo 2

Agora precisamos determinar se essa função é decrescente! Por isso devemos calcular a derivada de f usando a regra do quociente

f ' x = 2 x x 3 + 1 - x 2 3 x 2 x 3 + 1 2 = - x 4 + 2 x x 3 + 1 2 = x - x 3 + 2 x 3 + 1 2

Como o denominador é sempre maior que zero, pois está elevado ao quadrado, devemos garantir que o numerador é negativo!

Se x > 2 3 , o numerador será negativo e a função será decrescente!

Passo 3

Vamos, agora, calcular a integral com intervalo limitado.

∫ 1 b x 2 x 3 + 1 d x

Veja, podemos definir

x 3 = u       →       3 x 2 d x = d u

Isso nos dá

= 1 3 ∫ 1 b 3 d u u + 1 =

= ln ⁡ u + 1 3 1 b 3 = ln ⁡ ( b 3 + 1 ) - ln ⁡ 2 3

Passo 4

Agora vamos tomar o limite dessa expressão que encontramos.

∫ 1 ∞ x 2 x 3 + 1 d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b x 2 x 3 + 1 d x = lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ ( b 3 + 1 ) - ln ⁡ 2 3 =

= lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ ( b 3 + 1 ) 3 - ln ⁡ 2 3 = ∞

Como a integral diverge, pelo Teste da integral, a série do problema diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercício Resolvido #3

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 667, exercício 19

Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos:

a n = ln ⁡ n n 3

Logo, podemos definir

f x = ln ⁡ x x 3

Assim, temos f n = a n .

Passo 2

Vamos calcular a derivada para garantir que essa função é decrescente

f ' x = x 2 - 3 x 2 ln ⁡ x x 6 = 1 - 3 ln ⁡ x x 4

Como o denominador está elevado a potência par, ele é sempre positivo. Basta, então, analisar o numerador.

Se x > e 1 3 , a função será decrescente, pois o numerador será menor que zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral com intervalo finito.

∫ e 1 3 b ln ⁡ x x 3 d x =

Como não conseguimos identificar uma substituição direta, vamos usar a integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Definindo

d x x 3 = d v   →   - 1 2 x 2 = v

ln ⁡ x = u → 1 x d x = d u

∫ ln ⁡ x x 3 d x = - ln ⁡ x 2 x 2 - ∫ - 1 2 x 2 ⋅ 1 x d x =

= - ln ⁡ x 2 x 2 + ∫ 1 2 x 3   d x =

= - ln ⁡ x 2 x 2 - 1 4 x 2 = - 2 ln ⁡ ( x ) + 1 4 x 2

∫ e 1 / 3 b ln ⁡ x x 3 d x = - 2 ln ⁡ ( x ) + 1 4 x 2 e 1 / 3 b = - 2 ln ⁡ ( b ) + 1 4 b 2 + 2 ln ⁡ e 1 / 3 + 1 4 e 1 / 3 2 =

= - 2 ln ⁡ ( b ) + 1 4 b 2 + 5 12 e 2 3