Enunciado

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta dada.

R 1 em torno de O A

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos determinar o volume gerado pela rotação da região R 1 em torno no eixo x .

Podemos calcular o volume através da fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Sabemos então que a = 0 e b = 1 , R 1 é a curva y = x 3 , vamos calcular a área agora, como rotacional em y = 0 que é a reta O A , temos:

A x = π r 2 = π x 3 2 = π x 6

Onde usamos o raio como a curva limite.

Pronto, agora só falta calcular o volume:

V = ∫ a b A x d x = ∫ 0 1 π x 6 d x

Veja só!

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ π x 6 d x = π ∫ x 6 d x

Calculando a integral...

∫ π x 6 d x = π . x 7 7 + C

∫ π x 6 d x = π x 7 7 + C

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = ∫ 0 1 π x 6 d x = π x 7 7 0 1

V = π . 1 7 7 - π . 0 7 7

V = π 7

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

V = π 7

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