Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que ele não existe:

lim x → ∞ ⁡ arctan ⁡ ( e x )

Passo 1

Fala aí, belezinha com você?

Bom galera, essa questão pede pra gente encontrar o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ arctan ⁡ ( e x )

Ou provar que ele não existe.

Cara, a ideia que é usar as propriedades dos limites analizando com cuidado a função para saber o que acontecerá com ela quando o x tender ao .

Vem comigo que faremos exatamente isso no passo a passo.

Passo 2

A primeira propriedade que iremos usar é a de passar o limite para o argumento da função

arctan ⁡ ( e x )

Assim, nosso limite se torna:

arctan ⁡ lim x → ∞ ⁡ e x

Boa. Agora vamos ver o que aconteceu lá dentro.

Passo 3

Repara que dentro do argumento ficamos com:

lim x → ∞ ⁡ e x

E esse limite podemos calcular. Basta pensar para que valor o e x vai quando o expoente tende ao . E termos como resposta:

lim x → ∞ ⁡ e x = ∞

Show, agora vamos voltar para a questão original.

Passo 4

Beleza, então se é assim a gente pode escrever o limite como:

lim x → ∞ ⁡ arctan ⁡ ( x )

Pronto, se a gente lembrar do gráfico da função do arctan ⁡ ( x ) a gente percebe que quanto maior o x a função vai se aproximando de π 2 . Então:

lim x → ∞ ⁡ arctan ⁡ ( x ) = π 2

E prontinho. Temos a nossa resposta

Resposta

lim x → ∞ ⁡ arctan ⁡ ( e x ) = π 2

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