Enunciado

Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:

d) y = x 3 / 2 , z = 0 de P 0 0,0 , 0 a P 1 4,8 , 0

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l = ∫ a b r ' → t d t

Essa formula nos dá o comprimento da curva r → t entre os pontos a e b . Repare que r ' → t é o modulo do vetor r ' → t . Então vamos lá!

Passo 2

Para começar vamos parametrizar a expressão que ele nos deu!

y = x 3 / 2 , z = 0 de P 0 0,0 , 0 a P 1 4,8 , 0

Considerando x = t :

y = t 3 2

Logo,

r → t = t ,   t 3 2 ,   0

Agora já encontramos uma expressão para r → t , vamos ver entre quais valores de t vamos integrar. O enunciado nos pede para integrar entre os pontos P 0 0,0 , 0 a P 1 4,8 , 0 , como fizemos x = t , vamos integrar de t = 0 a t = 4 .

Passo 3

Como já temos uma expressão para r → t . Então bora derivar para acharmos r ' → t !

r → t = t ,   t 3 2 ,   0

Derivando,

r ' → t = 1 , 3 2 × r 3 2 - 1 ,   0

Assim,

r ' → t = 1 , 3 2 r 1 2 ,   0

Agora que já encontramos r ' → t , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

r ' → t = 1 2 + 3 2 r 1 2 2 + 0 2

Portanto,

r ' → t = 1 + 9 4 r

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:  

l = ∫ a b 1 + 9 4 t   d t

Como estamos pegando entre os pontos 0 e 4   :

l = ∫ 0 4 1 + 9 4 t   d t

Para resolvermos essa integral vamos fazer substituição de variável.

u = 1 + 9 4 t

Derivando,

d u = 9 4 d t → d t = 4 9 d u

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração. Assim,

t = 0 → u = 1 + 9 4 × 0 = 1

t = 4 → u = 1 + 9 4 × 4 = 1 0

Então nossa integral fica o seguinte:

l = ∫ 1 10 u   4 9 d u

Tirando o 4 / 9 da integral:

l = 4 9 ∫ 1 10 u d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 5

Pra finalizar, vamos resolver esse integral!

l = 4 9 ∫ 1 10 u 1 2 d u

Usando o lembrete do Passo anterior:

l = 4 9 × u 1 2 + 1 1 2 + 1 1 10

Simplificando:

l = 8 27 × u 3 2 1 10

Aplicando entre os pontos 1 e 10 :

l = 8 27 × 1 0 3 2 -   1 3 2

Arrumando dentro do parêntese:

l = 8 27 × 10 3 -   1

Portanto,

l = 8 27 10 10 -   1

Resposta

l = 8 27 10 10 -   1

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51-54. Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. Se necessário, use um gráfico para determinar o intervalo de parâmetro.53. r =
51-54. Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. Se necessário, use um gráfico para determinar o intervalo de parâmetro.54. r =