Enunciado

Verificar se a integral

∫ - ∞ 0 e 5 x d x

Converge. Em caso positivo, determinar seu valor.

Passo 1

Temos que resolver a integral imprópria e mostrar se existe ou não algum valor finito que representa a nossa integral. Para isto, precisamos realizar uma modificação nela primeiramente. Sendo assim, teremos:

lim b → - ∞ ⁡ ∫ b 0 e 5 x d x

Agora, nosso primeiro passo será resolver a integral e obter o nosso resultado em função de b . Depois, teremos de resolver o limite associado.

Passo 2

Agora, vamos resolver a nossa integral. Portanto,

lim b → - ∞ ⁡ ∫ b 0 e 5 x d x = lim b → - ∞ ⁡ e 5 x 5 b 0 = lim b → - ∞ ⁡ 1 5 - e 5 b 5

Resolvendo o limite agora, temos:

lim b → - ∞ ⁡ 1 5 - e 5 b 5 = 1 5

Portanto, acabamos de provar que a integral imprópria converge e o seu valor é 1/5.

Resposta

A integral converge e é igual a 1/5.

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