Verificar a regra da cadeia

df/dt = (∂f/∂x) \* (dx/dt) + (∂f/∂y) \* (dy/dt)

Para a função

f(x, y) = lnxy

x = 2 \* t^2

y = t^2 + 2

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y   =   f x   e   x = h ( t ) tem se

d y d t = d f x d x . d x d t

Se ambas f   e   h   forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z   =   f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g t e y   = h t diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

d z d t = ∂ z ∂ x . d x d t + ∂ z ∂ y . d y d t

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

d f x , y d t = ∂ f x , y ∂ x . d x ( t 0 ) d t + ∂ f x , y ∂ y . d y t 0 d t

∂ f x , y ∂ x = 1 x

∂ f x , y ∂ y = 1 y

d x ( t ) d t = 4 t

d y t d t = 2 t  

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

d f x , y d t =   1 x ×   4 t + 1 y ×   2 t =

Deixando tudo numa só variável (t)

= =   1 x ×   4 t + 1 y ×   2 t = 1 2 t 2 4 t + 1 t 2 + 2 2 t = 4 t 2 + 4 t 3 + 2 t

Resposta

4 t 2 + 4 t 3 + 2 t ; t ≠ 0

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