Enunciado

(a) Encontre a diferencial d y   e (b) avalie d y   para os valores dados de x e d x .

y = x + 1 x - 1 ,       x = 2 ,       d x = 0,05

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a diferencial d y   da função e avaliar o que acontece quando x = 2 e d x = 0,05 .

Essa diferencial é dada por:

d y = f ' x   d x

Então, basta a gente calcular a derivada de y (usando a regra do quociente) e multiplicar por d x para obter d y . Em seguida, vamos substituir os valores que o enunciado nos deu na expressão encontrada.

Vamos lá!

Passo 2

Sabemos que a diferencial é dada por: d y = f ' x   d x e que f ' ( x ) é dada pela regra do quociente ( h x g x ' = h ' x ∙ g x - h x ∙ g ' ( x ) g x 2 ). Assim, para a derivada de y = x + 1 x - 1 , temos:

d y = 1 x - 1 - 1 ( x + 1 ) x - 1 2 d x

Aplicando a distributiva nos produtos:

d y =   x - 1 - x - 1 x - 1 2 d x

E simplificando, temos:

d y =   - 2 x - 1 2 d x

Pronto, diferencial encontrada!

Passo 3

Agora vamos substituir os valores x = 2 e d x = 0,05 , dados pelo enunciado, na expressão que encontramos no passo 2 . Assim, temos:

d y =   - 2 2 - 1 2 ∙ ( 0,05 )

Resolvendo o denominador:

d y =   - 2 1 2 ∙ 0,05

E calculando o produto, temos:

d y =   - 0,1

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d y =   - 2 x - 1 2 d x

d y =   - 0,1

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