Enunciado

Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.

y ' ' + 9 y ' = 1 + x e 9 x

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + 9 y ' = 0

E a equação característica associada é:

k 2 + 9 k = 0

A solução é:

k k + 9 = 0 ∴ k 1 = 0 ,   k 2 = - 9

Temos duas raízes reais e diferentes, e a solução é:

y x = c 1 e - 9 x + c 2

Agora vamos encontrar a solução particular.

Passo 3

Nesse caso temos duas soluções particulares. Vamos começar com a primeira.

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G 1 x é G 1 x = 1 , uma constante, e faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma constante vezes x (pois assim teremos uma solução L.I):

y p 1 x = A x

Passo 4

A segunda solução particular vai ser dada a partir da função G 2 x é G 2 x = x e 9 x e não faz parte da solução da equação homogênea, sendo assim uma possível solução vai ser uma função de primeiro grau multiplicando uma exponencial:

y p 2 x = B x + C e 9 x

Passo 5

E a solução tentativa vai ser a soma das duas:

y p = y p 1 + y p 2

y p = A x + B x + C e 9 x

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y p = A x + B x + C e 9 x

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