Verifique que para todo natural n >= 1 e todo real s > 0 .

∫ t n e - s t d t = - 1 s t n e - s t + n s ∫ t n - 1 e - s t d t

Passo 1

Para esse caso essas duas funções, e - s t e   t n vamos usar a integração por partes da seguinte maneira:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, vamos usar:

u = t n → d u = n t n - 1 d t   e   v = - 1 s e - s t → d v = e - s t   d t

Substituindo:

∫ t n e - s t d t = - 1 s t n e - s t - ∫ n t n - 1 - e - s t s d t

Passo 2

∫ t n e - s t d t = - 1 s t n e - s t - ∫ n t n - 1 - e - s t s d t

Vamos agora finalizar colocando as variáveis para fora:

∫ t n e - s t d t = - 1 s t n e - s t + n s ∫ t n - 1 e - s t d t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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