Enunciado

O que é o vetor gradiente de uma função diferenciável ƒ(x, y)?

Como ele está relacionado às derivadas direcionais da função?

Estabeleça os resultados análogos para funções de três variá-

veis independentes

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício de revisão, vamos relembrar o que é um vetor gradiente de uma função diferenciável f ( x , y ) . Vamos rever também como ela se relaciona com as derivadas direcionais da função.Você se lembra como essas afirmações ficam para uma função de três variáveis independentes?

Passo 2

Como você estudou, o vetor gradiente de f ( x , y ) em um ponto P 0 x 0 , y 0 é o vetor

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

Você deve se lembrar que ele é obtido avaliando as derivadas parciais de fem P 0 x 0 , y 0 .

Passo 3

Para três variáveis, temos:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Como você observou, o gradiente se relaciona com as funções de forma que o gradiente é normal à curva naquele ponto.

Resposta

Resposta nos passos.

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Verificar se os seguintes limites existem:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^3 - y^3)/(x^2 + y^2)
Mostrar que os limites não existem:g) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^3)/(x^3 + y^2)
Verificar se os seguintes limites existem:d) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (5 y - x)/(2 x - y)
Mostrar que os limites não existem:a) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)
Mostrar que os limites não existem:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (3 x y)/(4 x^2 + 5 y^2)