Enunciado

Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos termos

tendem a 0. Mostre que

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 1 + 1 n

também é uma série com essa propriedade.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo?

Primeiro, vamos mostrar que é uma série divergente! Para isso, vamos olhar para as somas parciais:

s 2 = ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 2 = l n ⁡ ( 3 )

s 4 = ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 2 + ln ⁡ 4 3 + ln ⁡ 5 4 = ln ⁡ 5

s 6 = ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 2 + ln ⁡ 4 3 + ln ⁡ 5 4 + ln ⁡ 6 5 + ln ⁡ 7 6 = ln ⁡ 7

s 8 = ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 2 + ln ⁡ 4 3 + ln ⁡ 5 4 + ln ⁡ 6 5 + ln ⁡ 7 6 + ln ⁡ 8 7 + ln ⁡ 9 8 = ln ⁡ 9

E assim por diante... Então, repare que os valores das somas está sempre crescendo! Já que:

ln ⁡ 3 < ln ⁡ 5 < ln ⁡ 7 < ln ⁡ 9 …

Como essa soma não para de crescer, a série é divergente!

Passo 2

Para mostrar que seus termos tendem a 0 , podemos só olhar para cada termo nas somas que fizemos no passo anterior. Vamos pegar o que contém mais termos:

s 8 = ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 2 + ln ⁡ 4 3 + ln ⁡ 5 4 + ln ⁡ 6 5 + ln ⁡ 7 6 + ln ⁡ 8 7 + ln ⁡ 9 8

Se você reparar, cada termo diminui em relação ao anterior, se aproximando cada vez mais do 0 . Você pode reparar isso calculando cada logaritmo oouuu podemos, também, conferir que o termo dentro do logaritmo tende a 1 , assim ó:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n = 1 + 0 = 1

Como o termo dentro de l n ⁡ 1 + 1 n tende a 1 e ln ⁡ 1 = 0 , conforme crescemos n , o último termo da série está mais próximo de 0 que o anterior. Beleza?? Isso já basta!!

Resposta

Explicação no passo a passo.

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Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. ∑ n = 1 ∞ 1 4 + e - n
Teste a convergência ou divergência das séries.12- ∑ n = 1 ∞ - 1 n n n 2 + 25
Teste a convergência ou divergência das séries.2- ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 2 + n