Enunciado

Como você encontra o comprimento de uma curva parametrizada suave x   =   f t ,   y   =   g ( t ) , a ≤ t ≤ b ? O que a sua característica de ser suave tem a ver com o comprimento? O que mais você precisa saber sobre a parametrização para poder encontrar o comprimento da curva? Dê exemplos.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja uma curva parametrizada x   =   f ( t ) e y   =   g ( t ) para a ≤ t ≤ b , temos então que o comprimento de uma curva é dado por:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 = ∫ a b f ' ( t ) 2 + g ' ( t ) 2 d t

A suavidade da curva explica o fato de que a função é contínua e derivável no domínio. Também precisamos saber que a curva é percorrida exatamente uma vez no domínio.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

∫ a b f ' ( t ) 2 + g ' ( y ) 2 d t .

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Encontre a área da região que é delimitada pelas curvas dadas e está no setor especificado. r = tg ⁡ θ , π 6 ≤θ ≤ π 3
Encontre a área da região sombreada.
Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 4 + 3 sen ⁡ θ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r 2 = s e n 2 θ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r = 2s e n 5 θ