Enunciado

Se você não souber qual substituição fazer, tente reduzir a integral passo a passo, usando uma primeira substituição para simplificar um pouco a integral e depois outra para simplificar um pouco mais. Você perceberá o que queremos dizer se experimentar as sequências de substituições nos Exercícios 67 e 68.

∫ 18 tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x 2 + tan 3 ⁡ x 2 d x

  1. u = tan ⁡ x , seguido por v = u 3 , então por w = 2 + v
  2. u = tan 3 ⁡ x , seguido por v = 2 + u
  3. u = 2 + tan 3 ⁡ x

Passo 1

Vamos começar fazendo a primeira substituição proposta na letra a.):

u = tan ⁡ x

Derivando dos dois lados:

d u = sec 2 ⁡ x d x

Substituindo na integral:

∫ 18 tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x 2 + tan 3 ⁡ x 2 d x = ∫ 18 tan 2 ⁡ x 2 + tan 3 ⁡ x 2 sec 2 ⁡ x d x = ∫ 18 u 2 2 + u 3 2 d u

Agora, vamos a próxima substituição sugerida,

v = u 3

Derivando dos dois lados,

d v = 3 u 2 d u

d v 3 = u 2 d u

Colocando na integral,

∫ 18 u 2 2 + u 3 2 d u = ∫ 18 2 + u 3 2 u 2 d u = 18 ∫ 1 2 + v 2 ∙ d v 3

Por fim, faremos a última substituição:

w = 2 + v

Derivando dos dois lados:

d w = 0 + d v = d v

Calculando a integral:

6 ∫ 1 2 + v 2 d v = 6 ∫ 1 w 2 d w = 6 w - 2 + 1 - 2 + 1 = - 6 w - 1

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

- 6 w = - 6 2 + v = - 6 2 + u 3 = - 6 2 + tan 3 ⁡ x + C

Passo 2

Fazendo a primeira substituição pedida na letra b.):

u = tan 3 ⁡ x

Derivando dos dois lados utilizando a regra da derivada dos produtos:

d u = tan ⁡ x tan ⁡ x tan ⁡ x ' d x = 3 sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x

d u 3 = sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x

Substituindo na integral:

∫ 18 tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x 2 + tan 3 ⁡ x 2 d x = 18 ∫ 1 2 + tan 3 ⁡ x 2 tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x = 18 ∫ 1 2 + u 2 ∙ d u 3

Por fim, faremos a última substituição:

v = 2 + u

Derivando dos dois lados:

d v = 0 + d u = d u

Resolvendo a integral na integral:

6 ∫ 1 2 + u 2 d u = 6 ∫ 1 v 2 d v = 6 v - 2 + 1 - 2 + 1 = - 6 v - 1

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

- 6 v = - 6 2 + u = - 6 2 + tan 3 ⁡ x + C

Passo 3

Utilizando a única mudança de variável vista na letra c.):

u = 2 + tan 3 ⁡ x

Derivando dos dois lados utilizando a regra da derivada dos produtos:

d u = 0 + tan ⁡ x tan ⁡ x tan ⁡ x ' d x = 3 sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x

d u 3 = sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x

∫ 18 tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x 2 + tan 3 ⁡ x 2 d x = 18 ∫ 1 2 + tan 3 ⁡ x 2 tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x = 18 ∫ 1 u 2 ∙ d u 3

Calculando a integral:

6 ∫ 1 u 2 d u = 6 u - 2 + 1 - 2 + 1 = - 6 u - 1

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

- 6 u = - 6 2 + tan 3 ⁡ x + C

Protinho!!!

Resposta

  1. - 6 2 + tan 3 ⁡ x + C
  2. - 6 2 + tan 3 ⁡ x + C
  3. - 6 2 + tan 3 ⁡ x + C
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