Enunciado

O volume de um balão cresce de acordo com a fórmula d V d t = t + 1 + 2 3 t , onde V em c m ³ é o seu volume em t s. Se V = 33 quando t = 3 , ache(a) uma fórmula para V em termos de t; (b) o volume do balão em 8 s.

Passo 1

Uma interpretação da derivada é a que ela representa a variação de uma grandeza em relação a outra. No caso desse exercício, a grandeza que varia é o volume do balão com o tempo. Como dado no enunciado, o volume do balão cresce de acordo com a fórmula d V d t = t + 1 + 2 3 t . Nos foi pedido a fórmula para o volume e o valor de V(t) quando t = 8   s . Vamos montar nosso problema abaixo.

V t = ∫ d V Como podemos obter dV para substituirmos na integral e encontrar o volume do balão? Através da relação da corrente que nos foi dada!

d V d t = t + 1 + 2 3 t

Agora temos todas as informações para resolver o problema!

V t = ∫ t + 1 + 2 3 t d t

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

V t = ∫ t + 1 + 2 3 t d t V t = ∫ ( t + 1 ) 1 / 2 d t + ∫ 2 3 t d t V t = t + 1 3 2 3 / 2 + 2 3 t ² 2 + K V t = 2 3 ( t + 1 ) 3 / 2 + 1 3 t ²   + K

Passo 3

Uma vez obtida a expressão para o volume do balão, vamos aplicar o valor inicial dado no enunciado para descobrirmos quanto vale a constante K. Assim,

V 3 = 33 V 3 = 2 3 3 + 1 3 2 + 1 3 3 2 + K = 33 2 3 4 3 2 + 1 3 * 9   + K = 33 2 3 * 8 + 1 3 * 9   + K = 33 16 3 + 9 3 + K = 33 K = 33 - 25 3 K = 74 3

Portanto,

V t = 2 3 ( t + 1 ) 3 / 2 + 1 3 t ²   + 74 3

Passo 4

O enunciado pede o volume do balão quando t = 8   s . Logo,

V 8 = 2 3 ( 8 + 1 ) 3 / 2 + 1 3 8 ²   + 74 3 V 8 = 2 3 ( 9 ) 3 / 2 + 1 3 8 ²   + 74 3 V 8 = 54 3 + 64 3 + 74 3 V 8 = 64   c m ³

Resposta

O volume do balão em t = 8   s é:

V 8 = 64   c m ³

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