Enunciado

Entre 0 ° C e 30 ° C , o volume V (em centímetros cúbicos) de 1kg de água a uma temperatura T é aproximadamente dado pela fórmula

V = 999,87 - 0,06426 T + 0,0085043 T 2 - 0,0000679 T 3

Encontre a temperatura na qual a água tem sua densidade máxima

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver esse problema.

Basicamente o que queremos aqui é calcular os pontos críticos da função dada, e estaremos mais interessados no ponto critico máximo da função dada.

Temos que a densidade ρ é dada por

ρ = m V

Como a massa é constante, ρ será máxima quando o volume V for mínimo.

Para calcular esse volume mínimo, basta derivarmos a função e igualar a zero.

Passo 2

Temos então, a derivada do volume:

V ' = - 0,06426 + 0,0170086 T - 0,0002037 T 2

Igualando ela a zero:

- 0,06426 + 0,0170086 T - 0,0002037 T 2 = 0

Pela fórmula de baskara, temos

T = - 0,0170086 ± 0,0170086 2 - 4 ⋅ - 0,0002037 ⋅ - 0,06426 2 ⋅ - 0,0002037

T ≈ 3,9665   ° C   e   T ≈ 79,5318   ° C

Passo 3

Para continuarmos deveremos aplicar o método do invervalo fechado:

O Método do Intervalo Fechado - Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a,b]:

1-      Encontre os valores de f  nos extremos do intervalo.

2-      Encontre os valores de f  nos números críticos de f em [a,b].

3-      O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Agora, aplicando o teorema do intervalo fechado, precisamos calcular V 0 ,     V 3,9665   e   V ( 30 ) .

Note que V ( 79,5318 ) não será calculado pois este ponto não está dentro do intervalo dado 0 ≤ T ≤ 30 . Então

V 0 = 999,87   c m 3

V 3,9665 ≈ 999,7447   c m 3

V 30 = 1003,7628   c m 3

Então, podemos concluir que a água terá um volume mínimo a temperatura T = 3,9665   ° C , ou seja, terá uma densidade máxima a essa temperatura e a densidade ρ vale

ρ 3,9665 = 1000 999,7447 �� 1,000255   g / c m 3

Resposta

A densidade da água é máxima quando T = 3,9665   ° C

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