Polinômio de Taylor para f(x,y)

Teoria Completa

Polinômio de Taylor para mais de uma variável

Às vezes as funções que temos são muito complicadas de calcular quanto ao valor exato, mas muitas vezes uma aproximação é mais que o suficiente. Agora, como fazer essa aproximação? Para isso que existe o polinômio de Taylor, que nada mais é que essa aproximação por um polinômio em torno de um ponto.

Até o momento, vimos aproximação de Taylor para funções de uma única variável, como:

f x = sen ⁡ x

Agora veremos como aproximar por polinômio de Taylor funções de duas variáveis como essa aí:

f x , y = sen ⁡ x + y

Fica atento em outra coisa, o polinômio de Taylor pode ser calculado para diversos graus. Ué, mas como vou saber para qual grau calcular? Depende do grau que a questão pede ou qual o erro máximo permitido.

Como calcular – Uma variável

Vimos que, se a função for derivável até a ordem desejada, que vamos chamar de n , então a aproximação por polinômio de Taylor em torno de um ponto x 0 será:

P x = f x 0 + f ' x 0 1 ! x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + … + f n x 0 n ! x - x 0 n

Esse x 0 será um ponto de referência que será dado na questão ou você escolherá de maneira que seu valor para a função e suas derivadas seja fácil de determinar. Se você tem alguma dúvida nessa parte, vale muito a pena olhar os tipos de polinômio de Taylor de uma variável.

Como calcular – Duas variáveis

Para calcular o polinômio de Taylor para uma função de duas variáveis, ao redor de um ponto, usamos um passo-a-passo de boa.

Vamos usar um exemplo para entendermos melhor.

Exemplo:

Determine o polinômio de Taylor de grau 2 da função f x , y = e x + y em torno de p → = 0,0 .

Como ele quer um polinômio de grau 2 , a primeira coisa que precisamos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 de f x , y .

Como temos uma função de duas variáveis, temos que achar:

∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   ∂ 2 f ∂ y 2 ,   ∂ 2 f ∂ x 2 ,   ∂ 2 f ∂ x ∂ y , ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Repare que não basta ir somente até f x x e f y y , temos que considerar todas as permutações e, consequentemente f x y e f y x . Sabendo isso, vamos ter:

∂ f ∂ x = e x + y

  ∂ f ∂ y = e x + y

  ∂ 2 f ∂ y 2 = e x + y

  ∂ 2 f ∂ x 2 = e x + y

  ∂ 2 f ∂ x ∂ y = e x + y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = e x + y

É tudo igual, porque é exponencial :p.

Depois temos que achar a função f x , y e as derivadas que calculamos no ponto que ele quer o polinômio, no caso p → = 0,0 :

f 0,0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

∂ f ∂ x 0,0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

  ∂ f ∂ y 0,0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

  ∂ 2 f ∂ y 2 0,0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

  ∂ 2 f ∂ x 2 0,0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

  ∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = e 0 + 0 = e 0 = 1

Agora achamos cada termo do polinômio, o primeiro termo é o da própria função. Os outros termos vão ser parecidos com aquele para funções de uma variável, com uma leve diferença. Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser:

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

Onde m + p = n .

Lembrando que em todos esses termos, x 0 é o valor de x em torno do qual estamos pegando o polinômio, e y 0 é o valor de y em torno do qual estamos pegando o polinômio.

No nosso exemplo, os termos vão ser:

f 0,0 = 1

∂ f ∂ x 0,0 x - 0 1 ! = 1 . x = x

  ∂ f ∂ y 0,0 y - 0 1 ! = 1 . y = y

∂ 2 f ∂ y 2 0,0 y - 0 2 2 ! = 1 . y 2 2 = y 2 2

  ∂ 2 f ∂ x 2 0,0 x - 0 2 2 ! = 1 . x 2 2 = x 2 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 x - 0 y - 0 2 ! = 1 . x y 2 = x y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 y - 0 x - 0 2 ! = 1 . y x 2 = x y 2

Juntando tudo vai ficar:

P 2 x , y = 1 + x + y + y 2 2 + x 2 2 + x y 2 + x y 2 = 1 + x + y + y 2 2 + x 2 2 + x y

Entendeu? Esse polinômio nos dá os valores da função para valores de x , y perto de 0,0 . Vamos fazer um resumo geral de como achar esse polinômio.

Se quisermos o polinômio de Taylor da função f x , y de grau n em torno do ponto x , y = x 0 , y 0 .

Passo 1 : Achar as derivadas até a derivada n .

Passo 2 : Achar os valores da função e das derivadas até a derivada n no ponto x , y = x 0 , y 0 .

Passo 3 : Achar cada termo do polinômio.

Se tivermos a derivada em relação a x , o termo vai ser:

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y , o termo vai ser:

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser:

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

Passo 4 : Somar todos os termos.

Pronto, partiu exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de Cálculo Volume 2, 5ª ed., Rio de Janeiro: LTC 2008, pp. 302 ex 1b.

Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em torno do ponto x 0 , y 0 dado.

f x , y = x 3 + y 3 + x 2 + 4 y           e           x 0 , y 0 = 1,1

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Passo 1

Para acharmos o polinômio de Taylor a primeira coisa é achar as derivadas de ordem 1 da minha função

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 2 x

∂ f ∂ y = 3 y 2 + 4

Agora temos que achar essas derivadas no ponto

∂ f ∂ x 1,1 = 3 1 2 + 2 1 = 5

∂ f ∂ y 1,1 = 3 1 2 + 4 = 7

Passo 2

Agora vamos achar os termos do polinômio, lembrando que

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

Então os termos vão ser

f 1,1 = 1 3 + 1 3 + 1 2 + 4.1 = 7

∂ f ∂ x 1,1 x - 1 1 1 ! = 5 x - 1 1 = 5 x - 5

∂ f ∂ y 1,1 y - 1 1 1 ! = 7 y - 1 1 = 7 y - 7

Passo 3

O polinômio vai ser

P 1 x , y = 7 + 5 x - 5 + 7 y - 7 = 5 x + 7 y - 5

Resposta

P 1 x , y = 5 x + 7 y - 5

Exercício Resolvido #2

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de Cálculo Volume 2, 5ª ed., Rio de Janeiro: LTC 2008, pp. 305 ex

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto x 0 , y 0 dado.

f x , y = x sen ⁡ y   e   x 0 , y 0 = 0,0

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Passo 1

A primeira coisa a fazer é achar as derivadas de ordem 2 dessa função f x , y

∂ f ∂ x = sen ⁡ y

∂ f ∂ y = x cos ⁡ y

∂ 2 f ∂ x 2 = 0

∂ 2 f ∂ y 2 = - x sen ⁡ y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = cos ⁡ y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = cos ⁡ y

É normal essas últimas duas darem iguais, mas precisamos calcular os dois para não esquecer no final.

Passo 2

Temos agora que achar essas derivadas e a função no ponto que ele deu

f 0,0 = 0 . sen ⁡ 0 = 0

∂ f ∂ x 0,0 = sen ⁡ 0 = 0