Introdução à trigonometria

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Teoria

Introdução

Vamos falar agora de trigonometria. O nome pode assustar um pouco, mas não tem nada demais. Basicamente, é o estudo das relações de um triângulo retangulo. Mas o que que eu tenho a ver com as relações desse cara?

Calma, calma. Além do triângulo retângulo ser importante por sí só, seu estudo ajuda a compreender outros fenômenos, como ondas, distâncias e circuferências. Então se ajeita na cadeira e vamos lá!

Relações trigonométricas

Vamos começar então. O triângulo retângulo é um triângulo que tem um dos ângulos igual a 90 º como o triângulo abaixo:

O ângulo representado pelo quadrado é o ângulo de 90 º e φ vai ser o nosso ângulo de análise. A partir dele, temos:

Onde cateto oposto é o lado para qual o ângulo de análise φ aponta.

Já o cateto adjacente é o lado que forma tanto o ângulo φ quanto o ângulo 90 º .

A hipotenusa, por sua vez, é a reta que liga o cateto oposto e o cateto adjacente. Para ficar mais bonito na hora representar algebricamente, vamos chamar o cateto oposto de C O , cateto adjacente de C A e a hipotenusa de h mesmo.

Beleza? A partir disso, podemos definir: sen ⁡ φ = C O h cos ⁡ φ = C A h tg ⁡ φ = C O C A

Que pode ser lido como seno de φ , cosseno de φ e tangente de φ , sempre referido ao ângulo em questão.

Temos também que, associado a isso:

cossec ⁡ φ = 1 sen ⁡ φ = h C O sec ⁡ φ = 1 cos ⁡ φ = h C A cotg ⁡ φ = 1 tg ⁡ φ = C A C O

Que pode ser lido como cossecante de φ , secante de φ e cotangente de φ . Não vá pensar que a secante é 1 sobre seno só porque começa com se hein?! A secante é 1 sobre cosseno! (Dica: se ficar em dúvida, pensa na 3ᵃ letra da palavra: a 3ᵃ letra de secante é c, então é inverso do cosseno. A 3ᵃ letra de cossecante é s, então é o inverso do seno. )

Vamos prosseguir? Veja que:

sen ⁡ φ = C O h ⟹ C O = h ⋅ sen ⁡ φ

cos ⁡ φ = C A h ⟹ C A = h ⋅ cos ⁡ φ

Substituindo esses valores na tangente:

tg ⁡ φ = C O C A = h ⋅ sen ⁡ φ h ⋅ cos ⁡ φ ⟹ tg ⁡ φ = sen ⁡ φ cos ⁡ φ

A mesma ideia segue para a cotangente também:

cotg ⁡ φ = cos ⁡ φ sen ⁡ φ

Opa! Vamos embalar agora. Lembra do Teorema de Pitágoras? Ele diz que:

h 2 = C O 2 + C A 2

Também substituindo:

h 2 = h ⋅ sen ⁡ φ 2 + h ⋅ cos ⁡ φ 2 ⟹ h 2 = h 2 sen 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ

Dividindo tudo por h 2 , chegamos na Relação Fundamental da Trigonometria:

sen 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ = 1

Esse nome imponente não está aí a toa, essa relação é, de fato, muito importante. Lembre dela. Podemos também tirar outras relações a partir dela. Dividindo-a por cos 2 ⁡ φ :

sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ φ = 1 cos 2 ⁡ φ ⟹ tan 2 ⁡ φ + 1 = sec 2 ⁡ φ

Da mesma, maneira, se dividirmos tudo por sen 2 ⁡ φ , temos que: cotg 2 ⁡ φ + 1 = cossec 2 ⁡ φ

Senos, cossenos e tangentes notáveis

O seno, cosseno e tangente não possuem uma relação linear, como veremos mais a frente. Isso significa que, por exemplo:

sen ⁡ 60 º = sen ⁡ 2 ⋅ 30 º ≠ 2 sen ⁡ 30 º

Para achar o seno de um ângulo você pode recorrer a boa e velha calculadora ou, quando ela não estiver disponível (julgo sempre quando você precisa) recorrer a uma tabelinha simpática de seno, cosseno e tangente de ângulos comuns nos problemas.

Como a calculadora é o Pokémon raro das provas, você precisa ter a tabelinha bem firme na cabeça! Lá vai:

Se você não se lembra nem do que tomou hoje no café da manhã, não tem problema. Grave somente as colunas do seno e cosseno e lembre que a tangente é razão entre eles.

Se mesmo assim bater um branco e só lembrar de uma coluna, use a relação fundamental da trigometria para achar o resto.

Tudo bem? Nos vemos nos exercícios agora!

Senos, cossenos e tangentes notáveis

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine o valor do s e n o do ângulo θ   do triângulo abaixo.

Passo 1

Fala Aíí!! Antes de qualquer coisa, vamos relembrar a definição de s e n o ?

O s e n o de um ângulo θ é calculado por

s e n o θ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

Beleza... mas quem é o Cateto Oposto e a Hipotenusa??

O Cateto Oposto é o lado do triângulo retângulo que está de frente pro ângulo que estamos analisando θ ,

Ou seja, o cateto Oposto aqui é a medida do lado A B   =   3 . Beleza?! Podemos então já substituir esse valor na definição do   s e n o θ :

s e n o θ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a = 3 H i p o t e n u s a

Beleza... E quem é a Hipotenusa?? É o que vamos ver agora!!!

Passo 2

A Hipotenusa é a medida do lado do triângulo que está de frente para o ângulo de 90 ° !

Ou seja, a nossa hipotenusa aqui vale a medida do lado B C = 5 ! Podemos então substituir esse valor na definição do s e n o :

s e n o θ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a = 3 5

Assim, o s e n o θ vale

s e n o θ = 3 5

Belezinha?!

Resposta

s e n o θ = 3 5

Exercício Resolvido #2

Determine o valor do c o s s e n o do ângulo θ   do triângulo abaixo.

Passo 1

Fala Aíí!! Para resolver esse exercício, vamos relembrar a definição de c o s s e n o ?

O c o s s e n o de um ângulo θ é calculado por

s e n o θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

E quem é o Cateto Adjacente e a Hipotenusa??

O Cateto Adjacente é a medida do lado do triângulo retângulo que não é a hipotenusa e forma o ângulo agudo.

Ou seja, o cateto Adjacente aqui é a medida do lado A C   =   4 . Beleza?! Podemos então já substituir esse valor na definição do   c o s s e n o θ :

c o s s e n o θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a = 4 H i p o t e n u s a

Beleza?!

Passo 2

Agora falta encontrar o valor da Hipotenusa!! A Hipotenusa é a medida do lado do triângulo que está de frente para o ângulo de 90 ° !

Ou seja, a nossa hipotenusa aqui vale a medida do lado B C = 5 ! Podemos então substituir esse valor na definição do c o s s e n o :

s e n o θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a = 4 5

Assim, o c o s s e n o θ vale

c o s s e n o θ = 4 5

Belezinha?!

Resposta

c o s s e n o θ = 4 5

Exercício Resolvido #3

Determine o valor da t a n g e n t e do ângulo θ   do triângulo abaixo.

Passo 1

Vamos Lá!!!! Vamos relembrar a definição da T a n g e n t e de um ângulo θ ?

A t a n g e n t e de um ângulo θ é calculada da seguinte maneira

t g θ = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e

E quem é o Cateto Oposto e Cateto Adjacente??

O Cateto Oposto é o lado do triângulo retângulo que está de frente pro ângulo que estamos analisando θ ,

Ou seja, o cateto Oposto aqui é a medida do lado A B   =   3 . Beleza?! Podemos então substituir esse valor na definição de T a n g e n t e

t g θ = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e = 3 C a t e t o   A d j a c e n t e

Beleza?!

Passo 2

Já o Cateto Adjacente é a medida do lado do triângulo retângulo que não é a hipotenusa e forma o ângulo agudo.

Ou seja, o cateto Adjacente aqui é a medida do lado A C   =   4 . Beleza?! Substituindo esse valor na definição de T a n g e n t e , temos

t g θ = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e = 3 4

Show de bola?!

Resposta

t g θ = 3 4

Exercício Resolvido #4

Calcule o valor de x no triângulo abaixo:

Passo 1

Opaaa! Fala Aí!! Queremos encontrar o valor de x , certo? Como podemos fazer isso???

Antes de mais nada, se você reparar, nós temos os valores de dois lados do triângulo retângulo e também temos o valor de um ângulo do triângulo 30 ° . Certo?

Por isso, vamos utilizar uma das razões trigonométricas para encontrar o valor de x ! Sempre que estivermos trabalhando com medidas dos lados de um triângulo retângulo e ângulo, podemos utilizar as razões trigonométricas para facilitar nossa vida!

Então como vai funcionar?????? É o que veremos agora!

Passo 2

Se observarmos bem o triângulo, nós temos um ângulo de 30 ° e a medida x que queremos encontrar está “de frente” para o ângulo de 30 ° , concorda?

Ou seja, a medida x é o cateto oposto ao ângulo de 30 ° . Beleza?!

Além disso, temos a medida do lado que está de frente para o ângulo de 90 ° , que é chamada de hipotenusa!

Como estamos trabalhando com a medida do cateto oposto x e da hipotenusa 4 , então a razão trigonométrica mais adequada que envolve o cateto oposto e a hipotenusa é o s e n o . Assim, precisamos calcular o s e n 30 ° !

Passo 3

Sabemos que o

s e n ∅ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

Certo?! Aplicando essa fórmula para o s e n 30 ° , temos

s e n 30 ° = x 4

Beleza?!

Passo 4

Tá... mas e agora?

Agora precisamos ver qual é o valor de s e n 30 ° . Para isso, basta olharmos para a nossa querida tabelinha!

Agora é só procurar o valor do s e n 30 °

E substituir na nossa equação

s e n 30 ° = x 4

1 2 = x 4

E isolar o x !!! Para isso, vamos multiplicar cruzado

2 x = 4

Agora passamos o 2 pro outro lado da igualdade dividindo

x = 4 2

Assim,

x = 2

Beleeeza?!

Resposta

x = 2

Exercício Resolvido #5

Uma bola é lançada sob um ângulo de 30 ° . A que altura se encontra depois de percorrer 2 m   em linha reta?

Passo 1

Falaaaaa Aí!! Antes de qualquer coisa vamos entender o que o exercício está pedindo?? No exercício é dito que uma bola é lançada sob um ângulo de 30 ° . Ou seja,

Beleza?! Precisamos encontrar a altura h que a bola vai se encontrar após percorrer 2 m em linha reta, ou seja

Queremos então encontrar o valor da altura h !! Show de bola?!

Passo 2

Se observarmos bem o triângulo, nós temos um ângulo de 30 ° e a medida h que queremos encontrar está “de frente” para o ângulo de 30 ° , concorda?

Ou seja, a medida x é o cateto oposto ao ângulo de 30 ° . Beleza?!

Além disso, temos a medida do lado que está de frente para o ângulo de 90 ° , que é chamada de hipotenusa!

Como estamos trabalhando com a medida do cateto oposto h e da hipotenusa 2 , então a razão trigonométrica mais adequada que envolve o cateto oposto e a hipotenusa é o s e n o . Assim, precisamos calcular o s e n 30 ° !

Passo 3

Sabemos que o

s e n ∅ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

Certo?! Aplicando essa fórmula para o s e n 30 ° , temos

s e n 30 ° = h 2

Beleza?!

Passo 4

Agora precisamos ver qual é o valor de s e n 30 ° . Para isso, basta olharmos para a nossa querida tabelinha!

Agora é só procurar o valor do s e n 30 °

E substituir na nossa equação

s e n 30 ° = h 2

1 2 = h 2

E isolar o x !!! Para isso, vamos multiplicar cruzado

2 h = 2

Agora passamos o 2 pro outro lado da igualdade dividindo

h = 2 2

Assim,

h = 1

Ou seja, a altura que a bola se encontra depois de percorrer 2   m   em linha reta é de 1   m !

Beleeeza?!

Resposta

A altura que a bola se encontra depois de percorrer 2   m   em linha reta é de 1   m !

Exercício Resolvido #6

Quando o Sol se encontra a 45 ° acima do horizonte, um poste projeta sua sombra no chão com o comprimento de 25   m . Determine a altura do poste.

Passo 1

Vamos láá!! Vamos analisar e tentar esboçar o desenho do exercício?! No desenho abaixo, o segmento de reta amarelo representa um raio solar que é o responsável por originar a sombra do poste.

Se você reparar, temos o valor do ângulo de 45 ° , o valor do comprimeto da sombra de 25   m e queremos encontrar o valor da altura h . Beleza?!

Passo 2

Para calcularmos o valor da altura h podemos utilizar a tangente

t g 45 ° = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e

Onde o cateto oposto vale h e o cateto Adjacente 25 . Assim,

t g 45 ° = h 25

Beleza?!

Passo 3

Agora precisamos ver qual é o valor de t g 45 ° . Para isso, basta olharmos para a nossa querida tabelinha!

Substituindo o valor da t g 45 ° na nossa quação, ficamos com

1 = h 25

Ou seja, a altua do poste é de

h = 25   m

Beleza?!

Resposta

h = 25   m

Exercício Resolvido #7

Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo.

Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65 m a:

  1. b   c o s   α
  2. a   c o s   α
  3. a   s e n   α
  4. b   t g   α
  5. b   s e n   α

Passo 1

Falaaaaa Galeeera!! Beleza?! Vamos analisar o desenho com um pouco mais de calma?? Vamos fazer um esboço mais simples para nos ajudar!

Se você reparar, o segmento que vale B E = 1,65   m  representa a altura da pessoa, certo?! Como o triângulo formado na imagem é retângulo, então o segmento CD também mede 1,65 metros. Beleza?!

Então vamos lá, se você reparar, o triângulo   A B C  é retângulo. Perceba que a altura do prédio é igual a soma dos segmentos  A C e C D . E como podemos encontrar o valor do segmento A C = h ?

É o que veremos agora!!

Passo 2

Para calcularmos o valor do segmento A C   =   h  podemos utilizar uma das razões trigonométricas:  s e n o ou t a n g e n t e . Lembrando que s e n o  é a razão entre cateto oposto, ou seja:

s e n α = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

O cateto oposto na nossa imagem é a medida do lado oposto ao ângulo α , ou seja, A C = h . Já a hipotenusa é a medida do lado oposto ao ângulo de 90 ° , ou seja, B A = b . Assim,

s e n α = h b

Isolando a altura h   que é o valor que queremos encontrar, temos

h = b   s e n α

Essa é a nossa letra (e)!

Resposta

Letra E

Exercício Resolvido #8

Uma escada de 8 metros de comprimento está apoiada em uma parede, encostando num ponto a 4 metros do chão. Qual é o ângulo de inclinação da escada em relação a parede?

Passo 1

A escada está para a parede formando um triângulo retângulo da seguinte forma:

Em relação ao ângulo φ , temos o cateto adjacente. Cateto adjacente e não oposto pois o   φ está na parte de cima do triângulo. Além dele, temos a hipotenusa. Juntando os dois, podemos calcular o cosseno: cos ⁡ φ = 4 8 = 1 2

Passo 2

Para achar o ângulo, basta pensar: qual o ângulo cujo cosseno é ½ ? Para responder a isso vamos usar a nossa querida tabelinha!

A resposta é φ = 60 º e, portanto o ângulo será esse.

Resposta

60 o

Exercício Resolvido #9

Fatore e simplifique a expressão:

T = s e n 2 x c o s 2 x + cos 4 ⁡ x + s e n ² ( x ) .

Passo 1

Vamos usar aquele pulo do gato pra poder resolver! Isolando c o s ² ( x ) , teremos:

T = cos 2 ⁡ x s e n 2 x + cos 2 ⁡ x + s e n 2 ( x )

Passo 2

Da Relação Fundamental da Trigonometria, a gente sabe que:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

Assim, teremos:

T = c o s 2 x 1 + s e n ² ( x )

Opa, caímos na mesma relação de novo, agora é só correr pro abraço! Assim, vai sobrar...

T = c o s 2 x + s e n 2 x = 1

Resposta

T = 1

Exercício Resolvido #10

Se cossec ⁡ x + cotg ⁡ x = 5 , calcule cossec ⁡ x .

Passo 1

Primeiro vamos relembrar o que é cossecante e cotangente! Temos que,

cossec ⁡ x = 1 sen ⁡ x   e cotg ⁡ x = 1 tg ⁡ x = cos ⁡ x sen ⁡ x .

Assim, voltando à soma do enunciado, teremos: 1 sen ⁡ x ⏟ cossec ⁡ x + cos ⁡ x sen ⁡ x ⏟ cotg ⁡ x = 5 ∴ 1 + cos ⁡ x sen ⁡ x = 5

O que nos dá:

1 + cos ⁡ x = 5 sen ⁡ x

Passo 2

Lá da Relação Fundamental da Trigonometria, temos que:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Isolando o cos ⁡ x , teremos:

cos ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Tacando lá na nossa equação, teremos:

1 + 1 - sen 2 ⁡ x = 5 sen ⁡ x

1 - sen 2 ⁡ x = 5 sen ⁡ x - 1

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado, teremos:

1 - sen 2 ⁡ x 2 = 5 sen ⁡ x - 1 2

1 - sen 2 ⁡ x = 25 sen 2 ⁡ x - 10 sen ⁡ x + 1

26 sen 2 ⁡ x = 10 sen ⁡ x

sen ⁡ x ( 26 sen ⁡ x - 10 ) = 0

Essa equação zera quando,

sen ⁡ x = 0

Ou

26 sen ⁡ x - 10 = 0 →   sen ⁡ x = 5 13

Maaaassssss... Como estamos interessados em calcular a cossec ⁡ x . Então temos

cossec ⁡ x = 1 sen ⁡ x

Como a função seno está no meu denominador, eu não posso ter sen ⁡ x = 0 . Então vamos ficar com a nossa segunda solução

sen ⁡ x = 5 13

Calculando a cossecante, temos

cossec ⁡ x = 1 sen ⁡ x ⟹   cossec ⁡ x = 1 5 / 13 = 13 5 U f a !

Resposta

cossec ⁡ x = 13 5

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