Teste da Série Alternada

Teoria Completa

Fala galera. Sejam bem vindos ao Responde Aí, a plataforma de exatas criada para ajuda você a mandar super bem nas suas provas da faculdade!

Estamos aqui hoje para te ajudar a entender um conteúdo importante no estudo de séries. o teste da séria alternada.

Preparado para aprender de uma vez por toda? Então só bora!

Conhecimentos Prévios

☑️ Introdução às Séries

O que é série alternada?

O que vamos estudar agora são as séries que mudam de sinais a cada termo. Como assim? Veja só:

                       Exemplo de série
Exemplo de série

Percebeu que os sinais se alternam? Isso que nós chamamos de Série alternada.

Quando você vir, então, um termo $(-1)$ elevado a uma potência $n$, já sabe reconhecer que a série é alternada. Mas nem sempre isso é tão claro, veja esse exemplo:

           Exemplo de série alternada
Exemplo de série alternada

De cara, você não vê que essa é uma série alternada, mas veja seus termos:

     Termos da série alternada mencionada anteriormente
Termos da série alternada mencionada anteriormente

Essa é exatamente a mesma série que acabamos de ver, apenas escrita de forma diferente! Perceba que, como $n$ só pode ser inteiro, podemos escrever esse cosseno da seguinte forma:

    Reescrevendo o cosseno do termo geral
Reescrevendo o cosseno do termo geral

E assim por diante.

Então, a partir de agora, quando você vir um seno ou cosseno em uma série, já fique ligado, pode ser uma série alternada.

Teste da Série Alternada

Para testarmos a convergência de uma série alternada vamos usar um método específico para essas séries chamado teste da série alternada ou critério de Leibniz.

O teste da série alternada diz o seguinte:

            Definição formal do teste da série alternada
Definição formal do teste da série alternada

Vamos pegar um exemplo, ok?

Olha essa série alternada aqui:

        Exemplo de série alternada
Exemplo de série alternada

Para esse caso, a gente tem que o termo geral $b_n$ é dado por:

        Expressão do termo geral
Expressão do termo geral

Note que $(n+1)^2>n^2$, então temos que:

Termo referente à n+1 é menor que o termo referente à n
Termo referente à n+1 é menor que o termo referente à n

Assim, o primeiro critério do teste da série alternada é satisfeito.

Além disso, o limite do termo geral, quando $n$ tende ao infinito é zero:

 Limite de
Limite de

Desse modo, o segundo critério também é satisfeito e chegamos a conclusão que a série converge!

Viu? Esse teste é bem simples 😉

Convergência absoluta

Dizemos que uma série alternada é absolutamente convergente quando a série que tem termo geral igual ao módulo do termo geral da série alternada converge.

Em outras palavras:

                                     Critério de convergência absoluta
Critério de convergência absoluta

Para encontrar a convergência da série somente com termos positivos o que você vai fazer é usar os outros testes de convergência como: teste da divergência, teste da comparação, teste da comparação no limite, teste da integral, etc.

O que é interessante em achar a convergência absoluta é que toda série absolutamente convergente é convergente.

Mas, fica atento, pois nem toda série convergente é absolutamente convergente.

Convergência condicional

Uma série alternada é dita condicionalmente convergente quando ela converge como série alternada, mas não converge como série de termos positivos.

Olha essa série aqui:

                   Série alternada
Série alternada

Ela é chamada de série harmônica alternada, pois , desconsiderando o sinal de negativo temos a série harmônica.

                Série harmônica
Série harmônica

A série harmônica é uma série divergente, mas a série harmônica alternada converge quando aplicamos o teste da série alternada, então vemos que a série harmônica alternada é condicionalmente convergente, sacou?

E a gente finaliza esse conteúdo por aqui. Não é nenhum bicho de sete cabeças viu?

Além desse conteúdo em texto nós temos ele em vídeo também e você pode conferir bem aqui embaixo 👇🏽

Vídeo

Curtiu nosso conteúdo? Então assine com a gente para ter acesso a muito mais!

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 677, exercício 11

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 2 n 3 + 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como ele só pede para testar a convergência da série, não precisamos ficar pensando se ela será condicionamento ou absolutamente convergente.

Como temos o termo - 1 n + 1 sabemos que é uma série alternada com

b n = n 2 n 3 + 4

Então, partiu usar o teste das séries alternadas.

Passo 2

Como ver se b n = n 2 n 3 + 4 é decrescente? Não podemos afirmar isso de cara, temos que calcular sua derivada e ver se ela é negativa. Sendo

f x = x 2 x 3 + 4

Temos f n = a n

f ' x = 2 x x 3 + 4 - x 2 ( 3 x 2 ) x 3 + 4 2 = 2 x 4 + 8 x - 3 x 4 x 3 + 4 2 = x ( 8 - x 3 ) x 3 + 4 2

Como estamos considerando apenas a parte onde x é positivo, sabemos que f ' x < 0 quando :

8 - x 3 < 0

x > 2

Portanto, sabemos que em ( 2 ,   ∞ ) , a função acima é decrescente. Agora precisamos checar se b n tende a zero.

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 3 + 4   = lim n → ∞ ⁡ n 3 ( 1 / n ) n 3 ( 1 + 4 / n 3 )   = lim n → ∞ ⁡ ( 1 / n ) ( 1 + 4 / n 3 )   = 0

Logo, pelo Teste das séries alternadas, a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2015.1 - 1b

b) Diga se a série abaixo converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 e - n  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

b)Para determinar que a série converge vamos usar o teste das séries alternadas. Primeiro vamos ver que

b n = n 2 e - n

Onde b n é o termo geral da nossa série.

Para ver se a série converge temos que verificar duas coisas:

  1. b n é decrescente
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0 .

Passo 2

Bom, vamos começar pelo começo:

Quero mostrar que b n é decrescente, para isso vamos fazer

f n = b n

Assim

f x = x 2 e - x = x 2 e x

Agora podemos ver se essa f x é decrescente, se ela for a nossa série também vai ser.

Para isso temos que olhar o sinal de f ' x

f ' x = 2 x e x - e x x 2 e 2 x

f ' x = e x 2 x - x 2 e 2 x

f ' x = 2 x - x 2 e x

Passo 3

Agora vamos analisar o sinal de f ' x

f ' x = 2 x - x 2 e x

O denominador é sempre positivo, no numerador temos uma função de 2 º grau, com a < 0 , assim depois da segunda raiz ele vai ser negativo, assim:

f ' x < 0

E isso garante que b n é decrescente.

Passo 4

Para mostrar a segunda condição só temos que calcular o limite:

lim n → ∞ ⁡ n 2 e - n .

Bom,

lim n → ∞ ⁡ n 2 e - n = lim n → ∞ ⁡ n 2 e n = ∞ ∞

Isso é uma indeterminação, vamos usar L’Hopital:

lim n → ∞ ⁡ n 2 e n = lim n → ∞ ⁡ 2 n e n = ∞ ∞

Continuou dando indeterminação, vamos usar L’Hopital de novo:

lim n → ∞ ⁡ 2 n e n = lim n → ∞ ⁡ 2 e n = 2 ∞ = 0

Portanto temos que a série converge.

Resposta

A série Converge

Exercício Resolvido #3

USP - Cálculo 4 - P1 2010 - 2b

Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ 1 + 2 n 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Uma série alternada né galerinha? Vamos primeiro fazer o teste para ver se ela é absolutamente convergente, olhando essa cara, podemos comparar ela com uma função que conhecemos, mas teste da comparação não parece fácil de fazer. Mas podemos comparar ela com o teste da comparação no limite! Mas que função escolher? Ué, podemos aproveitar uma própria função que já tem nessa série : 2 n 3 , sabemos que ela é uma p-série com p = 1 3 , logo é divergente, então vamos ver isso daí:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 2 n 3 2 n 3

Mas sabemos que 2 n 3 → 0   q u a n d o   n → ∞ , podemos substituir isso por :

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 + x x

Aplicando L’Hospital:

lim x → 0 + ⁡ 1 1 + x = 1

Logo a série não é absolutamente convergente!

Passo 2

Vamos usar o critério de Leibniz para verificar se ela é condicionalmente convergente, se você reparar na função ln ⁡ 1 + 2 n 3 , vai ver que ela é uma série descrecente, pois o valor da função vai caindo de acordo com o aumento de n , mas repare também que o valor do logaritmo no limite é 0 , ou seja, ela é limitada inferiormente, consequentemente ela é condicionalmente convergente pelo critério de Leibniz

Resposta

Condicionalmente Convergente!

Exercício Resolvido #4

USP - Cálculo 4 - P1 2013 - 2c

Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

  ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 1 - cos ⁡ 1 n 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bem, é uma série alternada, vamos ver se ela é absolutamente convergente. Mas antes temos que analisar o comportamento dessa função, nem sabemos se ela tende a 0 quando n → ∞ , vamos ver isso daí:

lim n → ∞ ⁡ n 3 1 - cos ⁡ 1 n 3 = lim n → ∞ ⁡ 1 - cos ⁡ 1 n 3 1 n 3

Da pra substituir u = 1 n 3 , então quando n → ∞   o u → 0

Assim fica:

lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u u

Inderterminação de 0 0 , logo, por L’Hospital:

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u 1 = 0

Ok, o teste da divergência serve só quando o limite é diferente de 0 , que aí afirmamos que ela diverge, vamos usar algum outro teste!

Passo 2

Vamos comparar com 1 n 3 , já que ele aparece tanto na série, vamos fazer o teste da comparação no limite:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 - cos ⁡ 1 n 3 1 n 6

Fazendo a mesma substituição u = 1 n 3 !

lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u u 2

Por L’Hospital:

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u 2 u

Novamente:

lim u → 0 ⁡ cos ⁡ u 2 = 1 2

Então as séries tem o mesmo comportamente, como já sabemos que 1 n 3 converge, concluímos que a série converge absolutamente pelo critério da comparação no limite!

Resposta

Converge Absolutamente

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas