Série alternada

Teoria Completa

O que são séries alternadas?

O que vamos estudar agora são as séries que mudam de sinais a cada termo. Como assim? Veja só:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n = - 1 + 1 2 - 1 3 + 1 4 …

Percebeu que os sinais se alternam? Isso que nós chamamos de Série alternada.

Quando você vir, então, um termo ( - 1 ) elevado a uma potência n , já sabe reconhecer que a série é alternada. Mas nem sempre isso é tão claro, veja esse exemplo:

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π n

De cara, você não vê que essa é uma série alternada, mas veja seus termos:

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π n = - 1 + 1 2 - 1 3 + 1 4 …

Essa é exatamente a mesma série que acabamos de ver, apenas escrita de forma diferente! Perceba que, como n só pode ser inteiro, podemos escrever esse cosseno da seguinte forma:

cos ⁡ n π = - 1 n

n = 1 ;   cos ⁡ π = - 1

n = 2 ;   cos ⁡ 2 π = 1

n = 3 ;   cos ⁡ 3 π = - 1

E assim por diante.

Então, a partir de agora, quando você vir um seno ou cosseno em uma série, já fique ligado, pode ser uma série alternada.

Teste das séries alternadas ou Critério de Leibniz

Vamos ver a convergência dessa série aqui:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2

Como a série tem termos negativos não podemos usar comparação nem integral. Vamos de teste da razão então

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 n + 1 2 . n 2 - 1 n = lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 1 2 = 1

Iiih deu inconclusivo! Quem poderá nos ajudar? Antes de chamar o Chapolin, há um teste muito específico para séries alternadas, chamado Teste das séries alternadas ou Critério de Leibniz. Esse é bem simples, veja só:

Dada uma série alternada:

∑ n = 1 ∞ - 1 n b n

Se ela satisfizer essas duas condições:

  b n + 1 ≤ b n   p a r a   t o d o   n lim n → ∞ ⁡ b n = 0                                            

Então, a série converge.

Vamos voltar para o exemplo lá de cima. A gente tem que:

b n = 1 n 2

Como n 2 < n + 1 2 , temos que:

1 n + 1 2 < 1 n 2 → b n + 1 < b n

Além disso,

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 = 0

Logo, pelo critério das séries alternadas ela é convergente!

Viu? Esse teste é bem simples.

Convergência absoluta

Me conta aí sobre a convergência dessa série aqui:

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n n 2

Então, aplicando o teorema da divergência a gente conclui (depois de usar o teorema do confronto) que o limite vai para zero logo o teste é inconclusivo. Como cos ⁡ n tem termos negativos para alguns n , não podemos aplicar comparação nem o teste da integral.

Ferrooooou! Para esses casos em que temos termos negativos a boa é ver se a série é absolutamente convergente.

Cara, não vou te enrolar não: uma série é absolutamente convergente, se ∑ | a n | for convergente. Olha como se aplica aqui no nosso exemplo:

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n n 2 = ∑ n = 1 ∞ | cos ⁡ n | n 2

Como 0 < cos ⁡ n ≤ 1 para todo n , podemos comparar com ∑ 1 / n 2   que é convergente. Como:

cos ⁡ n n 2 ≤ 1 n 2

Logo, pelo teste da comparação:

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n n 2

Converge e a série original é absolutamente convergente

Legal, mas no que isso me ajuda? Ele queria saber sobre convergência e você vem com esse papinho de absolutamente convergente. Cara, agora vem o pulo do gato que vai nos salvar:

Toda série absolutamente convergente é convergente!

Ufa, então nossa série é convergente! Como a gente não podia aplicar os testes que conhecíamos, pois ela não era de termos positivos, a gente verificou se a série era absolutamente convergente. Concluindo que ela era absolutamente convergente por consequência concluímos que ela é convergente.

Detalhezinho técnico: nem toda série convergente é absolutamente convergente hein!

Uma dúvida que resta: eu só posso usar esse negócio de absolutamente convergente com séries de termos negativos? A resposta é não. Você pode usar com termos positivos, mas como a n = a n o que você vai acabar fazendo é usar os testes que a gente já conhece e não vai mudar nada.

Convergência condicional

Certo, já sabemos que podemos provar a convergência de uma série mostrando sua convergência absoluta, mas e quando a série não converge absolutamente?

Isso só vai ocorrer para séries com termos negativos. Aqui vamos estudar apenas o caso das séries alternadas.

Quando uma série alternada converge mas não converge absolutamente, dizemos que ela é condicionalmente convergente. Isso quer dizer que ela converge como série alternada, mas não como série de termos positivos. Nesse caso, apenas o Teste das séries alternadas pode ser usado. Vamos ver um exemplo.

Podemos usar o teste das séries alternadas para provar a convergência de:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Essa série também é chamada de Série harmônica alternada, pois, desconsiderando o sinal negativo, temos a Série harmônica:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Mas, se você se lembrar, essa série não converge. Portanto, a Série harmônica alternada converge mas não converge absolutamente: dizemos, então, que ela converge condicionalmente.

Resumo prático para Séries alternadas

Sempre que um problema pedir para você analisar a convergência de uma série alternada, fique atento, você tem 3 possibilidades de resposta:

c o n v e r g e   a b s o l u t a m e n t e           c o n v e r g e   c o n d i c i o n a l m e n t e d i v e r g e                                                                            

Como a convergência condicional é algo mais restrito (são séries que não convergem absolutamente), você deve testar a convergência absoluta antes, usando aqueles testes que já conhecemos (razão, raiz, comparação etc). Se você encontrar que a série não converge absolutamente, aí sim,use o Teste das séries alternadas para descobrir se ela converge condicionalmente. Se isso não ocorrer, (se ela não convergir nem condicionalmente) você pode tentar o Teste da divergência para ver se ela diverge.

Sugestão para exercícios de séries alternadas:

t e s t e   p a r a   c o n v .   a b s o l u t a d e u   c e r t o = a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e                                                                                                                   d e u   e r r a d o → T e s t e   d a s   s é r i e s   a l t . d e u   c e r t o = c o n d . c o n v e r g e n t e                 d e u   e r r a d o → T e s t e   d a   d i v e r g ê n c i a

Esse esquema é para um caso geral, se você viu a série da questão e já acha que ela diverge, não perca tempo testando a convergência absoluta! Se você está perdido, ai sim é uma boa seguir esses passos

Agora vamos fazer uns exercícios para fixar esses conceitos!

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 677, exercício 11

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 2 n 3 + 4

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Passo 1

Como ele só pede para testar a convergência da série, não precisamos ficar pensando se ela será condicionamento ou absolutamente convergente.

Como temos o termo - 1 n + 1 sabemos que é uma série alternada com

b n = n 2 n 3 + 4

Então, partiu usar o teste das séries alternadas.

Passo 2

Como ver se b n = n 2 n 3 + 4 é decrescente? Não podemos afirmar isso de cara, temos que calcular sua derivada e ver se ela é negativa. Sendo

f x = x 2 x 3 + 4

Temos f n = a n

f ' x = 2 x x 3 + 4 - x 2 ( 3 x 2 ) x 3 + 4 2 = 2 x 4 + 8 x - 3 x 4 x 3 + 4 2 = x ( 8 - x 3 ) x 3 + 4 2

Como estamos considerando apenas a parte onde x é positivo, sabemos que f ' x < 0 quando :

8 - x 3 < 0

x > 2

Portanto, sabemos que em ( 2 ,   ∞ ) , a função acima é decrescente. Agora precisamos checar se b n tende a zero.

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 3 + 4   = lim n → ∞ ⁡ n 3 ( 1 / n ) n 3 ( 1 + 4 / n 3 )   = lim n → ∞ ⁡ ( 1 / n ) ( 1 + 4 / n 3 )   = 0

Logo, pelo Teste das séries alternadas, a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2015.1 - 1b

b) Diga se a série abaixo converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 e - n  

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Passo 1

b)Para determinar que a série converge vamos usar o teste das séries alternadas. Primeiro vamos ver que

b n = n 2 e - n

Onde b n é o termo geral da nossa série.

Para ver se a série converge temos que verificar duas coisas:

  1. b n é decrescente
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0 .

Passo 2

Bom, vamos começar pelo começo:

Quero mostrar que b n é decrescente, para isso vamos fazer

f n = b n

Assim

f x = x 2 e - x = x 2 e x

Agora podemos ver se essa f x é decrescente, se ela for a nossa série também vai ser.

Para isso temos que olhar o sinal de f ' x

f ' x = 2 x e x - e x x 2 e 2 x

f ' x = e x 2 x - x 2 e 2 x

f ' x = 2 x - x 2 e x

Passo 3

Agora vamos analisar o sinal de f ' x

f ' x = 2 x - x 2 e x

O denominador é sempre positivo, no numerador temos uma função de 2 º grau, com a < 0 , assim depois da segunda raiz ele vai ser negativo, assim:

f ' x < 0

E isso garante que b n é decrescente.

Passo 4

Para mostrar a segunda condição só temos que calcular o limite:

lim n → ∞ ⁡ n 2 e - n .

Bom,

lim n → ∞ ⁡ n 2 e - n = lim n → ∞ ⁡ n 2 e n = ∞ ∞

Isso é uma indeterminação, vamos usar L’Hopital:

lim n → ∞ ⁡ n 2 e n = lim n → ∞ ⁡ 2 n e n = ∞ ∞

Continuou dando indeterminação, vamos usar L’Hopital de novo:

lim n → ∞ ⁡ 2 n e n = lim n → ∞ ⁡ 2 e n = 2 ∞ = 0

Portanto temos que a série converge.

Resposta

A série Converge

Exercício Resolvido #3

USP - Cálculo 4 - P1 2010 - 2b

Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ 1 + 2 n 3

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Passo 1

Uma série alternada né galerinha? Vamos primeiro fazer o teste para ver se ela é absolutamente convergente, olhando essa cara, podemos comparar ela com uma função que conhecemos, mas teste da comparação não parece fácil de fazer. Mas podemos comparar ela com o teste da comparação no limite! Mas que função escolher? Ué, podemos aproveitar uma própria função que já tem nessa série : 2 n 3 , sabemos que ela é uma p-série com p = 1 3 , logo é divergente, então vamos ver isso daí:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 2 n 3 2 n 3

Mas sabemos que 2 n 3 → 0   q u a n d o   n → ∞ , podemos substituir isso por :

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 + x x

Aplicando L’Hospital:

lim x → 0 + ⁡ 1 1 + x = 1

Logo a série não é absolutamente convergente!

Passo 2

Vamos usar o critério de Leibniz para verificar se ela é condicionalmente convergente, se você reparar na função ln ⁡ 1 + 2 n 3 , vai ver que ela é uma série descrecente, pois o valor da função vai caindo de acordo com o aumento de n , mas repare também que o valor do logaritmo no limite é 0 , ou seja, ela é limitada inferiormente, consequentemente ela é condicionalmente convergente pelo critério de Leibniz

Resposta

Condicionalmente Convergente!

Exercício Resolvido #4

USP - Cálculo 4 - P1 2013 - 2c

Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

  ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 1 - cos ⁡ 1 n 3

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Passo 1

Bem, é uma série alternada, vamos ver se ela é absolutamente convergente. Mas antes temos que analisar o comportamento dessa função, nem sabemos se ela tende a 0 quando n → ∞ , vamos ver isso daí:

lim n → ∞ ⁡ n 3 1 - cos ⁡ 1 n 3 = lim n → ∞ ⁡ 1 - cos ⁡ 1 n 3 1 n 3