Equação do Calor – Homogênea

Teoria Completa

Condução de calor

Nesse capítulo, nós vamos precisar usar dois conceitos que já vimos: Séries de Fourier e Problemas de autovalor. Então, se você não entendeu muito bem essas matérias, melhor voltar e dar uma revisada! Beleza, vamos lá.

Antes de entrar no Cálculo, vamos entender um pouquinho da Física por trás desse assunto, para você se situar um pouco, ok? O nosso objeto de estudo vai ser a seguinte barra:

WTF, uma barra? Sim! O que nós queremos estudar é a variação de temperatura na barra quando transmitimos calor a ela, um problema muito comum na Física e na Engenharia. Digamos que a temperatura inicial em x = L seja menor que a em x = 0 , nesse caso, temos um fluxo de calor indo para a direita.

Vamos chamar de u ( x , t ) a temperatura de um ponto x no instante t . Muita calma nessa hora: veja que a temperatura é função de duas variáveis x e t ! Isso faz sentido, né? Porque o calor vai ser transmitido ao longo da barra, da esquerda para a direita. Portanto, a temperatura depende da localização do ponto que estamos analisando.

Agora repare que a temperatura ao longo da barra tende a ser homogênea conforme o tempo for passando, ou seja, o fluxo de calor vai diminuindo quando t aumenta. Portanto, percebemos que a temperatura em um ponto também depende da variável t , o tempo.

Ok, agora vamos colocar isso em termos matemáticos!

Para resolver problemas de calor, nós vamos na seguinte equação diferencial parcial:

u t = α 2 u x x

Esses termos u t e u x x são apenas formas mais simples de representar o seguinte:

u t = ∂ u ∂ t

u x x = ∂ 2 u ∂ x 2

Então, a derivada parcial de u ( x , t ) em relação a t é igual à sua segunda derivada parcial em relação a x , com uma constante de proporcionalidade. Repare que temos derivadas parciais exatamente porque u ( x , t ) é uma função de duas variáveis.

Essa constante α , que dá a proporção entre as derivadas, depende da condutividade do material, da sua densidade e do seu calor específico, o que não vai nos interessar muito aqui.

O que nós vamos resolver nesse capítulo, é essa equação diferencial parcial que acabamos de ver.

Resolução pelo método da separação de variáveis

Beleza, e na prática? Vamos ver agora como resolver exercícios de equação de calor.

Exemplo: Encontre a função da temperatura u ( x , t ) da barra que satisfaz as seguintes condições:

u t = α 2 u x x u x , 0 = f x         x ∈ [ 0 ,   L ] u 0 , t = u L , t = 0         t ≥ 0

Bom, nós temos um sistema, precisamos resolver essa equação diferencial parcial tendo essas três condições que o problema deu. Primeiro, vamos entender o que isso tudo quer dizer.

Esse termo u ( x , 0 ) representa a temperatura u ( x , t ) quando t = 0 , não é? Ou seja, essa é a função que dá a temperatura ao longo da barra no instante inicial. Portanto, temos um problema de valor inicial em relação à variável t . Podemos entender u ( x , 0 ) dessa forma:

A temperatura ao longo da barra varia com o passar do tempo, e o problema nos diz que quando t = 0 , ela é assim, como está acima.

Agora as outras duas condições. Se você reparar, o problema fixou as temperaturas como zero tanto no início como no final da barra. Isso quer dizer que, tanto para x = 0 como para x = L , independente do tempo t , a temperatura é zero. Bom, como temos condições para dois pontos distintos, já vemos que para a variável x , nós temos um problema de valores contorno.

Passo 1: Separação de variáveis

Percebeu que nós temos “dois problemas diferentes” juntos em um só? Ao mesmo tempo, temos um problema para a variável t e um para a variável x . Partindo dessa ideia, nós vamos tentar separar esses dois problemas! Esse método que vamos usar se chama Separação de variáveis. É muito importante que você entenda cada passo que vamos fazer a partir de agora, porque você vai usar esses conceitos nos próximos muitos capítulos!

Vamos imaginar que a função u ( x , t ) que procuramos possa ser escrita como a multiplicação de uma função apenas da variável x por outra apenas da variável t , dessa forma:

u x , t = X x ⋅ T ( t )

Vamos procurar uma solução dessa forma, com as variáveis separadas. Ok, u ( x , t ) tem que satisfazer a equação de calor, não é?

u t = α 2 u x x

Então, vamos substituí-la ai! Temos:

X x ⋅ T ' t = α 2 X ' ' x ⋅ T ( t )

Repare que, derivando u ( x , t ) em relação a t , X ( x ) é vista como constante, o mesmo ocorre para T ( t )   quando derivamos em relação a x ! Beleza, agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem x e do outro tudo que tem t :

1 α 2 T ' t T t = X ' ' x X x

Agora vamos com cuidado. Temos duas variáveis independentes t e x . Digamos que nós escolhemos um valor fixo para t . Assim, nós teríamos uma expressão fixa no lado esquerdo, que deve ser igual ao lado direito da equação para qualquer x , pois não fixamos x . Se essa igualdade deve valer para todo x , então a expressão do lado direito não depende do valor de x , né? Isso só pode ocorrer de essa fração do lado direito for igual à uma constante! Se fizermos o mesmo raciocínio do outro lado, fixando x , vemos que o lado esquerdo não depende de t , sendo, portanto, uma constante. Podemos escrever então:

1 α 2 T ' t T t = X ' ' x X x = - λ

Porque esse “menos”??? Frescura. No final, vamos descobrir que esse λ é negativo, então os matemáticos resolveram colocar – λ para fazer a constante ficar positiva (e complicar a nossa vida). Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:

X ' ' + λ X = 0 T ' + α 2 λ T = 0

Ok, em que isso melhora nossa vida? Lembra que eu te falei que tínhamos dois problemas juntos? Agora eles estão separadinhos.

Precisamos entender agora como vão ficar as outras equações que ele deu. Repara nos dados que o problema deu, vamos reescrevê-los usando a separação de variáveis u x , t = X x . T ( t ) :

u 0 , t = 0         →           X 0 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X 0 = 0

Veja que se T t = 0 , isso implica que u x , t = X x . 0 = 0 , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter X 0 = 0 . O mesmo ocorre aqui:

u L , t = 0         →           X L ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X L = 0

A condição u x , 0 = f x nós vamos guardar para o final.

Passo 2: Resolver o problema de contorno

Beleza, nós transformamos tudo o que o problema deu em:

u x , t = X x ⋅ T ( t )

X ' ' + λ X = 0

T ' + α 2 λ T = 0

X 0 = 0

X L = 0

u x , 0 = f x

Trilhões de equações! E agora? Nós vamos encontrar o X ( x ) e o T ( t ) um de cada vez e, assim, encontrar u ( x , t ) . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável x e a outra na t , qual resolver primeiro? A que tiver 2 condições de contorno, sempre!

X ' ' + λ X = 0

X 0 = 0

X L = 0

Temos duas condições para X ( x ) , uma em cada ponto, isso é um problema de valores de contorno. Esquece as outras equações por enquanto, temos que resolver isso aqui, da mesma forma que você viu no capítulo passado: encontrando a equação característica e analisando cada caso de .

No final, encontramos:

Caso 1: ∆ > 0 apenas a solução trivial.

Caso 2: ∆ = 0 apenas a solução trivial.

Caso 3: ∆ < 0 as soluções não triviais são do tipo:

X n x = sen λ x = sen n π x L

λ n = π n L 2 ,     n = 1,2 , 3 …

Esses são os autovalores a as autofunções para o problema de contorno em x . Agora vamos resolver o problema em t .

Nos exercícios, vamos resolver os problemas de contorno passo a passo! Aqui o que importa é a o método da separação de variáveis.

Passo 3: Tendo o valor de λ n , resolver a outra EDO e achar a solução fundamental u n ( x , t )

Temos a seguinte EDO do 1º grau:

T ' + α 2 λ T = 0

Como vimos no capítulo passado, aplicando o método da separação de variáveis, temos:

d T d t = - α 2 λ T

d T T = - α 2 λ d t

Integrando ambos os lados

ln ⁡ T = - α 2 λ t

T t = e - α 2 λ t

Substituindo λ :

T n t = e - α 2 π 2 n 2 t / L 2  

Sabendo que u x , t = X x ⋅ T ( t ) , podemos escrever:

u n x , t = sen n π x L e - α 2 π 2 n 2 t / L 2             n = 1,2 , 3 …

Calma, estamos quase lá.

Passo 4: Escrever u ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série

Bom, esse u n que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em x e à EDO em t . Sabemos também, pela própria definição de autofunções, que múltiplos dessa solução ou combinações lineares de soluções desse tipo também satisfazem as EDO’s.

Então, podemos escrever o seguinte:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L e - α 2 π 2 n 2 t / L 2    

Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é? Esse b n é o coeficiente dos termos da série, você já vai entender porque ele está ali!

Só temos um pequeno problema: e a condição u x , 0 = f x ? Não usamos ela em momento algum, portanto, essa solução não atende essa condição. Bom, então vamos fazer ela passar a atender!

Veja que, substituindo t = 0 na série, temos u ( x , 0 ) :

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L   = f ( x )

Temos, então, que encontrar coeficientes b n de forma que a soma dessa série seja igual à função f x . Reconhece isso de algum lugar? Isso é uma Série de Fourier de uma função ímpar.

Mas f ( x ) não é uma função periódica, pelo contrário, ela só está definida em 0 ≤ x < L , ao longo do comprimento da barra. Isso mesmo, temos que fazer então uma extensão ímpar de f ( x ) , para representar a função como uma série de senos. Da mesma forma que fizemos nos outros capítulos,

Como a extensão é ímpar, teremos:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen n π x L d x

Achando o coeficiente b n , é só substituir na série que encontramos:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L e - α 2 π 2 n 2 t / L 2    

E temos a nossa solução u ( x , t ) com representação em série. Finalmente!

Então, a notícia ruim é que esses problemas de equação de calor são enormes: ( A parte boa é que eles são todos iguais! : ) Muito parecidos, pelos menos.

Casos especiais

Vamos te dar agora algumas dicas para você ganhar tempo na hora de resolver esses problemas. Se você conseguir reconhecer um desses dois casos especiais de condições, isso pode facilitar muito sua vida. Vamos lá!

Antes, é interessante você saber que nós chamamos de condições de Dirichlet quando o problema dá os valores da função na fronteira X ( 0 ) e X ( L ) e chamamos de condições de Neumann quando ele dá os valores das derivadas X ' ( 0 ) e X ' ( L ) . Vamos lá!

Temperatura nas extremidades fixada em zero

O primeiro caso é o que acabamos de ver, quando temos a temperatura das extremidades sempre zero, ou seja, u 0 , t = u L , t = 0 . Isso nos leva a um problema com condições de Dirichlet homogêneas, que é o seguinte:

X ' ' + λ X = 0

X 0 = X L = 0

Sua solução é a seguinte:

X n x = sen n π x L

λ n = π n L 2         n = 1,2 , 3 …

Dependendo do seu tipo de prova, você pode mencionar esse caso especial e escrever direto essa solução sem precisar perder tempo provando. Se você conseguir, pode memorizar isso aqui então. Mesmo que você precise resolver passo a passo, é uma boa conhecer essa solução, porque esse problema aparece em muitas questões!

Extremidades isoladas

Esse caso é parecido com o anterior. Em vez de a temperatura ser fixada em zero nas extremidades da barra, sua derivada em relação a x é zero: u x 0 , t = u x L , t = 0 . Isso ocorre quando as extremidades estão isoladas, pois não há fluxo de calor passando por elas e, portanto, não há variação de temperatura na direção x .

Essa caso nos leva a um problema com condições de Neumann homogêneas:

X ' ' + λ X = 0

X ' 0 = X ' L = 0

Suas soluções são do tipo:

X n x = cos n π x L

λ n = π n L 2         n = 1,2 , 3 …

Há também a seguinte solução:

X 0 x = 1

λ 0 = 0

Novamente, você não precisa decorar isso aqui, mas é uma boa ter alguma noção dessa solução porque esse problema também aparece em diversas questões.

Vamos colocar aquele passo a passo esperto então? Partiu!

  1. Falar que a solução é do tipo u x , t = X x T ( t )
  2. Colocar a forma apresentada no passo 1 dentro da equação do calor
  3. Separar tudo que for função de t de um lado e o que for de x do outro
  4. Igualar tudo a - λ
  5. Obter as EDO’s separadas: uma para T t e outra para X ( x )
  6. Substituir a forma do passo 1 nas condições de contorno, lembrando que não queremos solução trivial!
  7. Resolver a EDO que tiver duas condições de contorno!
  8. Estudar os casos de Δ , não podemos ter solução trivial! (aqui obtemos os autovalores, λ , e autofunções)
  9. Resolver a EDO que falta, introduzindo o valor de λ que você obteve no passo 8
  10. Fazer a combinação linear das soluções obtidas em 9 (vai aparecer a série de Fourier)
  11. Para obter o b n resolver a série de Fourier da condição inicial!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNICAMP, Cálculo 3, P3 2011.1, Questão 4 item b

Dado que

u n x , t = e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40 ,     n = 1,2 , …

e solução da equação do calor

u t - u x x = 0

Determine a solução do problema de valor inicial e de contorno

u t - u x x = 0 ,     0 < x < 40 ,       t > 0 u 0 , t = u 40 , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     0 < x < 40 ,     o n d e         f x = 0 ,       0 ≤ x < 10 50 ,       10 ≤ x ≤ 30 0 ,       30 < x ≤ 40

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Passo 1

Bom, agora temos a equação de calor

u t - u x x = 0   →       u t = u x x

e uma solução

u n x , t = e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40 ,     n = 1,2 , …

podemos afirmar que uma combinação linear de u n também será solução:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ d n u n x , t

u x , t = ∑ n = 1 ∞ d n   e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40

Passo 2

Beleza, agora precisamos verificar se essa solução atende as condições de contorno e inicial.

Vamos começar com as de contorno. O que a gente precisa verificar é se

u 0 , t = u 40 , t = 0

Se a gente colocar x = 0 em u n , teremos sen ⁡ 0 = 0 . Logo, independente do valor de t na exponencial a gente vai atender a condição de contorno!

Da mesma forma, em x = 40 , temos sen ⁡ n π = 0 . De novo, atenderemos a condição para qualquer valor de t !

Passo 3

Vamos pra condição inicial

u x , 0 = f x ,     0 < x < 40

Okay, então façamos t = 0 :

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ d n   s e n π n x 40

Então está deve ser a Série de Fourier de f ( x ) , com uma extensão ímpar (pois a série é em senos). Então, mãos à obra! Essa extensão será dada por:

f x = - 50 ,       - 30 ≤ x ≤ - 10 50 ,               10 ≤ x ≤ 30 0 ,       s e       - 40 ≤ x < - 30 - 10 < x < 10 30 < x < 40             e                 f x + 80 = f ( x )

Passo 4

Essa função tem período T = 2 L = 80 , logo L = 40 . Beleza, vamos achar os coeficientes da série d n . Ok, você pode chama-los de b n ...

Mas calma aí pequeno gafanhoto, f ( x ) e s e n n π x 40 são funções ímpares, logo seu produto é par. Então vamos simplificar a integral...

b n = 2 . 1 40 ∫ 0 40 f ( x ) sen ⁡ n π x 40 d x

Agora, vamos separar em cada intervalo que temos a expressão de f bem definida!

b n = 2 . 1 40 ∫ 0 10 0 sen ⁡ n π x 40 d x + 2 . 1 40 ∫ 10 30 50 sen ⁡ n π x 40 d x + 2 . 1 40 ∫ 30 40 0 sen ⁡ n π x 40 d x

Portanto, vamos ficar apenas com

b n = 2 . 1 40 ∫ 10 30 50 sen ⁡ n π x 40 d x

b n = - 2.50 40 40 n π c o s n π x 40 10 30

b n = - 100 n π cos ⁡ 3 n π 4 - cos ⁡ n π 4

Passo 5

Mas vamos olhar pra esses cossenos: se n for par ( n = 2 k ), então

cos ⁡ 3.2 k . π 4 - cos ⁡ 2 k π 4 = cos ⁡ 3 k π 2 - cos ⁡ k π 2

E essa diferença vai ser sempre 0 . Viu?

Agora se n é ímpar, n = 2 k + 1 , k ∈ Z + .

cos ⁡ 3 n π 4 - cos ⁡ n π 4 = - 2 cos ⁡ n π 4 = - 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4

E tudo se reduz a

b 2 k + 1 = - 100 ( 2 k + 1 ) π - 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4

b 2 k + 1 = 200 ( 2 k + 1 ) π cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4

Passo 6

Assim:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ d n   e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40

u x , t = ∑ k = 0 ∞ d 2 k + 1   e - 2 k + 1 2 π 2 t 1600 s e n π 2 k + 1 x 40

u x , t = ∑ k = 0 ∞ 200 ( 2 k + 1 ) π cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4   e - 2 k + 1 2 π 2 t 1600 s e n π 2 k + 1 x 40

Resposta

u x , t = ∑ k = 0 ∞ 200 ( 2 k + 1 ) π cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4   e - 2 k + 1 2 π 2 t 1600 s e n π 2 k + 1 x 40

Exercício Resolvido #2

UNICAMP, Cálculo 3, P2 2014.1, Questão 4 item c

Usando separação de variáveis, encontrar a solução da seguinte equação do calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema

u t = u x x ,     0 < x < 1 ,     t > 0 u x 0 , t = 0 ,     u x 1 , t = 0 ,     t ≥ 0 u x , 0 = f x ,     0 ≤ x ≤ 1

onde f é definida como a extensão par e periódica de período P = 2 da função f x =   1   onde     0 < x < 1 e esboce o gráfico no intervalo - 1 < x < 1 .

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Passo 1

Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever

u x , t = X x T t

Note que se trata de uma equação de calor.

Com a separação, teremos:

u t x , t = X x T ' ( t )

u x x x , t = X ' ' x T ( t )

Portanto, nossa equação se torna

u t = u x x

X x T ' t = X ' ' x T ( t )

T ' t T t = X ' ' ( x ) X x = - λ

E isso origina duas EDO’s (uma em x e outra em t ):

T ' t + λ T t = 0 X ' ' x + λ X x = 0

Passo 2

Agora, vamos olhar para as condições de contorno:

u x 0 , t = 0 → X ' 0 T t = 0       ( I )

u x 1 , t = 0 → X ' 1 T t = 0       ( I I )

De ( I ) e ( I I ) , se T t = 0 , então ambas as condições seriam atendidas. Mas como isso implicaria em u x , t = X x T t = 0 o que daria a solução trivial.

Passo 3

Neste caso, nos resta admitir o seguinte:

X ' 0 = 0

X ' 1 = 0

Assim, formamos o seguinte problema:

X ' ' x + λ X x = 0 X ' 0 = X ' 1 = 0

Buscando uma solução não-trivial ( X x ≠ 0 ) , vamos avaliar a equação característica:

X ' ' x + λ X x = 0

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Temos um problema de contorno e vamos ter que analisar cada caso de Δ .

Passo 4

Caso 1: ∆ > 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x