Equação do Calor – Homogênea

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Condução de calor

Antes de entrar no Cálculo, vamos entender um pouquinho da Física por trás desse assunto, para você se situar um pouco, ok? O nosso objeto de estudo vai ser a seguinte barra:

QUE, uma barra? Sim! O que nós queremos estudar é a variação de temperatura na barra quando transmitimos calor a ela. Vamos chamar de u ( x , t ) a temperatura de um ponto x no instante t . Temos então que a temperatura é função de duas variáveis x e t !

Os problemas de calor que vamos ver aqui têm sempre a mesma carinha. Nós vamos ter que resolver a seguinte equação diferencial parcial:

u t = α 2 u x x

Onde u t é a derivada parcial da função temperatura em relação ao tempo e u x x é a derivada parcial de segunda ordem da temperatura em relação a x . Esse α é uma constante de proporcionalidade que é sempre dada no enunciado, não precisamos nos preocupar com ela.

Repare que temos derivadas parciais exatamente porque u ( x , t ) é uma função de duas variáveis.

Resolução pelo método da separação de variáveis

Beleza, e na prática? Vamos ver como resolver essa equação com um passo a passo. Exercícios de equação de calor homogênea têm sempre essa cara:

Exemplo: Encontre a função da temperatura u x , t   da barra que satisfaz as seguintes condições:

u t = α 2 u x x u x , 0 = f x         x ∈ [ 0 ,   L ] u 0 , t = u L , t = 0         t ≥ 0

Esse sistema vai ser dado pelo enunciado sempre, tá? A diferença é que às vezes ele pode te dar números mesmo como valor de L e α , e te dá a expressão de f x .

Nosso objetivo é resolver a equação diferencial parcial tendo essas três condições que o problema deu, ou seja, achar a expressão de u x , t . Essa é a primeira condição

u x , 0 = f x

Esse termo representa a temperatura u ( x , t ) quando t = 0 . Ou seja, f x é a função que dá a temperatura ao longo da barra no instante inicial. Portanto, temos um problema de valor inicial em relação à variável t . Isso porque temos uma informação de u x , t no t inicial.

u 0 , t = 0        

u L , t = 0      

Agora as outras duas condições. Elas querem dizer que, tanto para x = 0 como para x = L , independente do tempo t , a temperatura é zero.

Bom, como temos informações sobre u x , t para dois pontos distintos x da barra (ponto inicial e ponto final), vemos que em relação à x , nós temos um problema de valores contorno.

Passo 1: Separação de variáveis

Cara, vimos que em relação à t temos um problema de valor inicial e em relação a x temos um problema de valores de contorno. A ideia aqui é tentar separar esses dois problemas! Esse método que vamos usar se chama Separação de variáveis.

Vamos imaginar que a função u ( x , t ) que procuramos possa ser escrita como um produto entre uma função apenas da variável x e outra apenas da variável t , dessa forma:

u x , t = X x ⋅ T ( t )

E aí a gente vai supor que a nossa solução tem esse formato. Ok, u ( x , t ) tem que satisfazer a equação de calor, não é?

u t = α 2 u x x

Então, vamos substituí-la ai! Temos:

X x ⋅ T ' t = α 2 X ' ' x ⋅ T ( t )

Repare que, derivando u ( x , t ) em relação a t , X ( x ) é vista como constante, o mesmo ocorre para T ( t )   quando derivamos em relação a x ! Beleza, agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem x e do outro tudo que tem t :

1 α 2 T ' t T t = X ' ' x X x

Vamos deixar α do lado de t para facilitar as contas, tá? Agora vamos analisar essa relação que achamos com cuidado. Temos duas variáveis independentes t e x .

Digamos que nós escolhemos um valor fixo para t . Assim a fração em t vira uma constante. Aí, nós teríamos uma expressão fixa no lado esquerdo da equação (um valor constante), que deve ser igual ao lado direito da equação para qualquer x , pois não fixamos x .

Por termos uma igualdade, o lado direito precisa ser constante independentemente do valor de x . E isso só acontece se essa fração

X ' ' x X x

for igual a uma constante para qualquer valor de x . Acontece o mesmo se a gente fixar x e olhar para a fração em t . Com x fixo, a fração em t precisa ser também constante independentemente de t . Por isso podemos igualar essas duas frações a uma constante

1 α 2 T ' t T t = X ' ' x X x = - λ

É padrão colocar esse menos, mas não é necessário. Cê não precisa colocar. Mas fica atento que você precisa chegar na mesma solução que a gente aqui. Se não chegou, há algo errado. Vamos agora separar essa igualdade em duas equações. Olhando só para x :

X ' ' x X x = - λ

X ' ' = - λ X

X ' ' + λ X = 0

E para t :

1 α 2 T ' t T t = - λ

T ' t = - λ α 2 T t

T ' t + λ α 2 T t = 0

Logo, temos as duas equações

X ' ' + λ X = 0 T ' + α 2 λ T = 0

Ok, em que isso melhora nossa vida? Lembra que eu te falei que tínhamos dois problemas juntos? Agora eles estão separadinhos em duas equações diferentes.

Precisamos entender agora como vão ficar as condições que ele deu. Começando pela condição do problema de valores de contorno. A gente tinha u 0 , t = 0 . Como a gente supôs que u = X x T t , a gente escreve:

u 0 , t = 0         →           X 0 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X 0 = 0

Repara que T t precisa ser diferente de zero porque se ele for igual a zero, toda a nossa solução zera, ou seja se T t = 0 , isso implica que u x , t = X x . T t = 0 . Mas a gente não quer u x , t = 0 . Isso é a solução trivial. Ela não serve para a gente.

Então, nós precisamos ter X 0 = 0 . O mesmo ocorre aqui:

u L , t = 0         →           X L ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X L = 0

A condição u x , 0 = f x nós vamos guardar para o final.

Passo 2: Resolver o problema de contorno

Beleza, nós transformamos tudo o que o problema deu em dois problemas separados. Supomos que:

u x , t = X x ⋅ T ( t )

Aí temos o problema de valor inicial em relação a t

T ' + α 2 λ T = 0 u x , 0 = f x

E o problema de valores de contorno em relação a x :

X ' ' + λ X = 0 X 0 = 0 X L = 0

E agora? Nós vamos encontrar o X ( x ) e o T ( t ) um de cada vez e, assim, encontrar u ( x , t ) . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável x e a outra na t , qual resolver primeiro? A que tiver 2 condições de contorno, sempre!

Temos duas condições para X ( x ) , então começamos por ela.

Essa é uma EDO com problemas de valores de contorno que vai ser resolvida pelo método de problemas de autovalor, porque temos aquele λ ali. Buscando uma solução não-trivial ( X x ≠ 0 ) , vamos avaliar a equação característica:

X ' ' x + λ X x = 0

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Vamos ter que analisar cada caso de Δ . Quando a gente substitui as condições iniciais que temos nesse problema nas soluções para Δ = 0 e Δ > 0 :

Δ > 0     : X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Δ = 0 :   X x = c 1 + c 2 x

só vamos encontrar soluções triviais, onde c 1 = c 2 = 0 . Elas não nos interessam. Então vamos usar aqui só o caso Δ < 0 , cuja a solução é

X x = c 1 e α x cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

Para esse caso, a solução da equação característica por bhaskara dá:

r = ± - λ = 0 ± i λ

Daí β = λ e α = 0 .

X x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Substituindo a primeira condição de contorno X 0 = 0 :

X x = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 0 → c 1 = 0

Agora substituindo a segunda X L = 0 , já sabendo que c 1 = 0 :

X x = c 2 sen ⁡ λ L = 0

Como c 2 não pode zerar para essa solução não ser trivial também, precisamos que o seno seja igual a zero. E isso acontece para valores de ângulos múltiplos de π , ou seja, n π . Daí, precisamos que

λ L = n π

λ n = n π L 2 ,     n = 1,2 , 3 …

Substituindo em X x e esquecendo do c 2 .

X n x = sen λ x = sen n π x L

Esses são os autovalores a as autofunções para o problema de contorno em x . Como a gente está usando autovalores aqui, aquela constante c 2 vai ser desconsiderada mesmo, tá? Como se a gente fizesse c 2 = 1 . Então esse X n x é a nossa solução para a EDO.

Passo 3: Tendo o valor de λ n , podemos resolver a outra EDO, em t

Temos a seguinte EDO de primeira ordem

T ' + α 2 λ T = 0

Aplicando o método da separação de variáveis, temos:

d T d t = - α 2 λ T

d T T = - α 2 λ d t

Integrando ambos os lados

ln ⁡ T = - α 2 λ t

T t = e - α 2 λ t

Substituindo λ :

T n t = e - α 2 π 2 n 2 t / L 2  

Sabendo que u x , t = X x ⋅ T ( t ) , podemos escrever:

u n x , t = sen n π x L e - α 2 π 2 n 2 t / L 2             n = 1,2 , 3 …

Calma, estamos quase lá.

Passo 4: Escrever u ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série

Bom, esse u n que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em x e à EDO em t . Sabemos também, pela própria definição de autofunções, que múltiplos dessa solução ou combinações lineares de soluções desse tipo também satisfazem as EDO’s.

Então, podemos escrever o seguinte:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L e - α 2 π 2 n 2 t / L 2    

Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é? Esse b n é o coeficiente dos termos da série, você já vai entender porque ele está ali!

Só temos um pequeno problema: e a condição u x , 0 = f x ? Não usamos ela em momento algum, portanto, essa solução não atende essa condição. Bom, então vamos fazer ela passar a atender!

Veja que, substituindo t = 0 na série, temos u ( x , 0 ) :

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L   = f x

Temos, então, que encontrar coeficientes b n de forma que a soma dessa série seja igual à função f x . Reconhece isso de algum lugar? Isso é uma Série de Fourier de uma função ímpar.

Mas f ( x ) não é uma função periódica, pelo contrário, ela só está definida em 0 ≤ x < L , ao longo do comprimento da barra. Então temos que fazer uma extensão ímpar de f ( x ) , para depois representar a função como uma série de senos.

Como a extensão é ímpar, teremos a seguinte fórmula para b n :

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen n π x L d x

Achando o coeficiente b n , é só substituir na série que encontramos:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L e - α 2 π 2 n 2 t / L 2    

E temos a nossa solução u ( x , t ) com representação em série. Finalmente!

Então, a notícia ruim é que esses problemas de equação de calor são enormes ☹ A parte boa é que eles são todos iguais! 😊 Ou muito parecidos, pelos menos. 😉

Casos especiais

Vamos te dar agora algumas dicas para você ganhar tempo na hora de resolver esses problemas. Se você conseguir reconhecer um desses dois casos especiais de condições, isso pode facilitar muito sua vida. Vamos lá!

Temperatura nas extremidades fixada em zero

O primeiro caso é o que acabamos de ver, quando temos a temperatura das extremidades sempre zero, ou seja, u 0 , t = u L , t = 0 . Isso nos leva a um problema com condições de Dirichlet homogêneas, que é o seguinte:

X ' ' + λ X = 0

X 0 = X L = 0

Sua solução é a seguinte:

X n x = sen n π x L

λ n = π n L 2         n = 1,2 , 3 …

Dependendo do seu tipo de prova, você pode mencionar esse caso especial e escrever direto essa solução sem precisar perder tempo provando. Se você conseguir, pode memorizar isso aqui então.

Mesmo que você precise resolver passo a passo, é uma boa conhecer essa solução, porque esse problema aparece em muitas questões!

Extremidades isoladas

Esse caso é parecido com o anterior. Em vez de a temperatura ser fixada em zero nas extremidades da barra, sua derivada em relação a x é zero: u x 0 , t = u x L , t = 0 .

Esse caso nos leva a um problema com condições de Neumann homogêneas:

X ' ' + λ X = 0

X ' 0 = X ' L = 0

Suas soluções são do tipo:

X n x = cos n π x L

λ n = π n L 2         n = 1,2 , 3 …

Há também a seguinte solução:

X 0 x = 1

λ 0 = 0

Novamente, você não precisa decorar isso aqui, mas é uma boa ter alguma noção dessa solução porque esse problema também aparece em diversas questões.

Passo a Passo

Vamos colocar aquele passo a passo esperto então? Partiu!

  1. Falar que a solução é do tipo u x , t = X x T ( t )
  2. Colocar a forma apresentada no passo 1 dentro da equação do calor
  3. Separar tudo que for função de t de um lado e o que for de x do outro
  4. Igualar tudo a - λ
  5. Obter as EDO’s separadas: uma para T t e outra para X ( x )
  6. Substituir a forma do passo 1 nas condições de contorno, lembrando que não queremos solução trivial!
  7. Resolver a EDO que tiver duas condições de contorno!
  8. Estudar os casos de Δ , não podemos ter solução trivial! (aqui obtemos os autovalores, λ , e autofunções)
  9. Resolver a EDO que falta, introduzindo o valor de λ que você obteve no passo 8
  10. Fazer a combinação linear das soluções obtidas em 9 (vai aparecer a série de Fourier)
  11. Para obter o b n resolver a série de Fourier da condição inicial!

Obs: Viu que esses problemas usam muitos conhecimentos de outros tópicos de cálculo, né? Mas fica tranquilo, temos tudo aqui no site bem explicadinho. Para tentar te ajudar, marquei o nome desses tópicos em azul. Aí se ficar alguma dúvida nesses assuntos, pesquisa aqui no site, tá?

Casos especiais

Passo a Passo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Dado que

u n x , t = e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40 ,     n = 1,2 , …

e solução da equação do calor

u t - u x x = 0

Determine a solução do problema de valor inicial e de contorno

u t - u x x = 0 ,     0 < x < 40 ,       t > 0 u 0 , t = u 40 , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     0 < x < 40 ,     o n d e         f x = 0 ,       0 ≤ x < 10 50 ,       10 ≤ x ≤ 30 0 ,       30 < x ≤ 40

Passo 1

Bom, agora temos a equação de calor

u t - u x x = 0   →       u t = u x x

e uma solução

u n x , t = e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40 ,     n = 1,2 , …

podemos afirmar que uma combinação linear de u n também será solução:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ d n u n x , t

u x , t = ∑ n = 1 ∞ d n   e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40

Passo 2

Beleza, agora precisamos verificar se essa solução atende as condições de contorno e inicial.

Vamos começar com as de contorno. O que a gente precisa verificar é se

u 0 , t = u 40 , t = 0

Se a gente colocar x = 0 em u n , teremos sen ⁡ 0 = 0 . Logo, independente do valor de t na exponencial a gente vai atender a condição de contorno!

Da mesma forma, em x = 40 , temos sen ⁡ n π = 0 . De novo, atenderemos a condição para qualquer valor de t !

Passo 3

Vamos pra condição inicial

u x , 0 = f x ,     0 < x < 40

Okay, então façamos t = 0 :

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ d n   s e n π n x 40

Então está deve ser a Série de Fourier de f ( x ) , com uma extensão ímpar (pois a série é em senos). Então, mãos à obra! Essa extensão será dada por:

f x = - 50 ,       - 30 ≤ x ≤ - 10 50 ,               10 ≤ x ≤ 30 0 ,       s e       - 40 ≤ x < - 30 - 10 < x < 10 30 < x < 40             e                 f x + 80 = f ( x )

Passo 4

Essa função tem período T = 2 L = 80 , logo L = 40 . Beleza, vamos achar os coeficientes da série d n . Ok, você pode chama-los de b n ...

Mas calma aí pequeno gafanhoto, f ( x ) e s e n n π x 40 são funções ímpares, logo seu produto é par. Então vamos simplificar a integral...

b n = 2 . 1 40 ∫ 0 40 f ( x ) sen ⁡ n π x 40 d x

Agora, vamos separar em cada intervalo que temos a expressão de f bem definida!

b n = 2 . 1 40 ∫ 0 10 0 sen ⁡ n π x 40 d x + 2 . 1 40 ∫ 10 30 50 sen ⁡ n π x 40 d x + 2 . 1 40 ∫ 30 40 0 sen ⁡ n π x 40 d x

Portanto, vamos ficar apenas com

b n = 2 . 1 40 ∫ 10 30 50 sen ⁡ n π x 40 d x

b n = - 2.50 40 40 n π c o s n π x 40 10 30

b n = - 100 n π cos ⁡ 3 n π 4 - cos ⁡ n π 4

Passo 5

Mas vamos olhar pra esses cossenos: se n for par ( n = 2 k ), então

cos ⁡ 3.2 k . π 4 - cos ⁡ 2 k π 4 = cos ⁡ 3 k π 2 - cos ⁡ k π 2

E essa diferença vai ser sempre 0 . Viu?

Agora se n é ímpar, n = 2 k + 1 , k ∈ Z + .

cos ⁡ 3 n π 4 - cos ⁡ n π 4 = - 2 cos ⁡ n π 4 = - 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4

E tudo se reduz a

b 2 k + 1 = - 100 ( 2 k + 1 ) π - 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4

b 2 k + 1 = 200 ( 2 k + 1 ) π cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4

Passo 6

Assim:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ d n   e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40

u x , t = ∑ k = 0 ∞ d 2 k + 1   e - 2 k + 1 2 π 2 t 1600 s e n π 2 k + 1 x 40