Teorema do Resto das Séries Alternadas de Taylor

Teoria Completa

Revisão – Séries Alternadas

Antes de vermos o Teorema das Séries Alternadas, vamos relembrar o que é uma série alternada!

Uma série alternada é aquela em que os termos têm seus sinais alternados, daí que vem o nome! Mas o que isso quer dizer?

Se você tem um termo positivo, o próximo termo é negativo. E se você tem m termo negativo, o próximo é positivo! Vejamos um exemplo de série alternada:

1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + … + - 1 n + 1 n + …

Esta série é conhecida como série harmônica alternada!

Agora que vimos o que é uma série alternada, vamos ver como se dá sua convergência! A convergência de séries alternadas podem ser verificadadas pelos critérios estabelecidos no teorema de Leibniz. Não se assuste!! Vamos ver o teorema de Leibniz já já.

Seja uma série alternada genérica:

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 u n = u 1 - u 2 + u 3 - u 4 + …

O teorema de Leibniz diz que ela vai convergir se as seguintes condições foram satisfeitas:

  1. Os u n forem todos positivos.
  2. u n ≥ u n + 1 para todo n ≥ N , para algum N inteiro.
  3. u n → 0 .

Se a série seguir estes três critérios, então a série converge!

Pronto, acho que já fizemos uma revisão sobre séries alternadas vamos ver o teorema das séries alternadas e como ele pode ser útil para séries de potências!

Teorema da Séries Alternadas

Vamos pegar uma série alternada convergente, ou seja, que satisfaz os três critérios que vimos ali em cima! Agora vamos avaliar como a soma dessa série muda de acordo com o número de termos que estamos pegando!

A soma de n termos pode ser defininda como s n , ou seja:

s n = u 1 - u 2 + u 3 - u 4 + … + - 1 n + 1 u n

E vamos chamar:

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 u n = L

Observando com atenção a figura

Podemos ver que a soma vai se aproximando de L   conforme vamos aumentando o valor de n ! E que a distância entre a soma parcial( s n ) e L é menos que o temo u n .

Essas observações vão ajudar a entender melhor o teorema!

Teorema: Se a série alternada satisfaz as três condições de convergência, então para n ≥ N , s n se aproxima da soma L   da série com um erro cujo valor absoluto é menor que u n + 1 , que o valor numérico do primeiro termo a não ser utilizado.

O que isso quer dizer? Que ao aproximar a série :

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 u n = u 1 - u 2 + u 3 - u 4 + …

Fazendo um truncamento com n   termos, o erro desta aproximação é menor que o primeiro termo deixado de fora! Ou seja,

| e r r o | ≤ u n + 1

Além disso, temos que o sinal do erro é o mesmo sinal de u n + 1 na série.

E isso pode ser aplicado para estimar erro de séries de potências alternadas, veja o exemplo!

Exemplo: Encontre a série de Taylor gerada por f x = 1 / x em a = 2 e avalie seu erro para x = 3 aproximando a função com três termos.

Passo 1:

Precisamos encontrar os padrões das derivadas,

f x = 1 x = x - 1

f ' x = - x - 2

f ' ' x = 2 x - 3

f ' ' ' x = - 2 ⋅ 3 x - 4 =   - 3 ! x - 4

Assim,

f n x = - 1 n n ! x - n + 1

Passo 2:

A série de Taylor é dada por

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n = f a + f ' a 1 ! x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + f ' ' ' a 3 ! x - a 3 …

Como a = 2 e temos os valores das derivadas:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 2 n ! x - 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! 2 - n + 1 n ! x - 2 n

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 2 n 2 n + 1 = 1 2 - x - 2 2 2 + x - 2 2 2 3 - … + - 1 n x - 2 n 2 n + 1

Logo temos uma série alternada e podemos avaliar o erro pelo teorema das séries alternadas!

Passo 3:

Vamos calcular algumas somas parciais e ver com elas se aproximam da função!

Pegando três termos da série, temos :

s n = 1 2 - 3 - 2 2 2 + 3 - 2 2 2 3   = 1 2 - 1 4 + 1 8 = 0,375

Mas sabemos que,

f 3 = 1 3 = 0,333

Então, de acordo com o teorema das séries alternadas, o erro 0,375 - 0,333 = 0,042 deve ser menor que o quarto termo da série, que é:

3 - 2 3 2 4 = 1 16 = 0,062

Logo, vimos que o teorema dá certo!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 136-19.

Aproximadamente, para quais valores de x você pode substituir s e n   x por x - x 3 / 6 com um erro cuja magnitude não seja superior a 5 × 10 - 4 ? Justifique sua resposta.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Neste exercício o enunciado já nos da que a função deve estar escrita como série de Maclaurin, então

s e n   x = x - x 3 6 + x 5 120 - …

Que é uma série alternada!

Passo 2

Assim, podemos usar o teorema das séries alternadas para avaliar o erro!

Sabemos, pelo enunciado, que

e ≤ 5 × 10 - 4

Pelo teorema das séries alternadas, temos

e ≤ x 5 120

Assim, devemos ter

x 5 120 ≤ 5 × 10 - 4

x 5 ≤ 6 × 10 - 2

x ≤ 0,06 1 5

x ≤ 0,57

Resposta

Para valores de x ≤ 0,57 , podemos fazer a aproximação s e n   x = x - x 3 / 6 com um erro menor que 5 × 10 - 4 .

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 136-21.

Quão precisa é a aproximação s e n   x = x quando x < 10 - 3 ? Para quais desses valores de x ocorrerá de x < s e n x ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Neste exercício o enunciado já nos da que a função deve estar escrita como série de Maclaurin, então

s e n   x = x - x 3 6 + x 5 120 - …

Que é uma série alternada!

Passo 2

Assim, podemos usar o teorema das séries alternadas para avaliar o erro!

Pelo teorema das séries alternadas, temos

e ≤ x 3 6

Sabemos, pelo enunciado, que

x < 10 - 3

Assim, devemos ter

e ≤ x 3 6 ≤ x 3 6

e ≤ x 3 6 ≤ x 3 6 ≤ 10 - 3 3 6 = 10 - 9 6

e ≤ 10 - 9 6

e ≤ 1,67 × 10 - 10

Passo 3

Quermos encontrar os valores de x para x < s e n x , então vamos tentar relacionar isso com o erro da série!

R 2 x = f x - T 2 x

Substituindo

f x = s e n   x

T 2 x = x

Temos,

R 2 x =   s e n x - x

Queremos encontrar os valores para os quais,

x < s e n ( x )

0 < s e n x - x

0 < R 2 ( x )

Passo 4

Agora vamos encontrar os valores de x   que nos dão o resto positivo!

O resto tem o mesmo sinal do primeiro termo da série a ser cortado, ou seja, o mesmo sinal de

- x 3 6

Esse termo somente é positivo para x < 0

Como x < 10 - 3 ,

- 10 - 3 < x < 0

Resposta

Quando x < 10 - 3 , s e n   x pode ser aproximado por s e n   x = x com precisão de 1,67 × 10 - 10

E para - 10 - 3 < x < 0 , temos que x < s e n x .

Exercício Resolvido #3

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 136-28.

Você planeja estimar π / 4 pela determinação da série de Maclaurin para t g - 1   x em   x = 1 . Use o teorema da estimação de séries alternadas para determinar quantos termos da série você tem de adicionar para ter certeza de que a estimativa tem precisão de duas casas decimais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Neste exercício o enunciado já nos dá que a função deve estar escrita como série de Maclaurin, então

t g - 1   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 = x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + …

Que é uma série alternada!

Passo 2

Assim, podemos usar o teorema das séries alternadas para avaliar o erro!

Sabemos, pelo enunciado, que a aproximação deve ter precisão de duas casas decimais, logo

e ≤ 0.01

Como, pelo teorema,

e ≤ x 2 n + 1 2 n + 1

Então devemos ter, para x = 1

1 2 n + 1 2 n + 1 ≤ 0.01

1 2 n + 1 ≤ 0.01

2 n + 1 > 100

n > 49

Resposta

O resultado nos diz que para a precisão pedida, devemos pegar mais que 49 termos!

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas