Obtenção da Forma Normal e da Matricial

Resumo Completo

Introdução

Nessa teoria nós vamos definir o que seria a forma normal para os sistemas de EDO, como passar equações para a forma normal e definir os sistemas degenerados, sistemas de equações que não podem ser passados para a forma normal.

Vamos antes de tudo explicar do que se trata um sistema de EDOs.

Lembra quando na escola você tinha que resolver um sistema de equações para encontrar o valor de uma variável?

Agora vamos fazer uma coisa parecida só para encontrar uma função ao invés de um valor. Abaixo nós temos a cara de um sistema de EDOs.

x ' = x + y + t y ' = x - y + t 2

Uma coisa bem importante em sistema de EDOs vai se escrever o sistema na notação matricial. A ideia da notação matricial é escrever o sistema em função dos coeficientes como se fosse uma matriz. A cara de um sistema de EDO de primeira ordem na forma matricial vai ser essa.

X ' ( t ) = A X ( t ) + g ( t )

Vamos ver rapidinho o que é cada coisa nessa equação usando como modelo aquele sisteminha que nós escrevemos acima.

X ' ( t ) vai ser o vetor com as derivadas que no caso do nosso problema é

X ' t = x ' y '

O vetor X t vai ser o vetor das funções, no caso do nosso problema.

X t = x y

Os vetores X ( t ) e X ' ( t ) são bem tranquilos e diretos do sistema, a nossa matriz A já não vai ser tão direta. A matriz A vai ser a matriz dos coeficientes das funções x e y que no nosso problema fica com a seguinte cara.

A = 1 1 1 - 1

O vetor g ( t ) vai ser o vetor da parte não homogênea do sistema, onde tem funções que não são escritas a partir das funções que colocamos no nosso X ( t ) . Quando temos um sistema homogêneo esse vetor vai ser igual o vetor nulo. O g ( t ) fica com a seguinte cara nesse nosso problema.

g t = t t 2

O nosso sistema na forma matricial fica da seguinte forma.

x ' y ' = 1 1 1 - 1 x y + t t 2

Veja que se você desenvolver esse sistema, vai obter as duas equações que começamos.

A ideia agora não é resolver esse sistema, vamos aprender o que é a forma normal e como escrever uma EDO ou um sistema nesse formato.

Mas o que é a forma normal?

A forma normal de uma EDO é aquela forma com as equações que te mostrei lá em cima. Eu tô querendo dizer que só aparece derivada de primeira ordem! E advinha só, vamos poder escrever a EDO como um sistema! Vem comigo nesse exemplo:

2 y ' ' ' + 4 y ' ' - 5 y = 0

A primeira coisa a se fazer é isolar a derivada de maior ordem de um lado da equação. Nesse caso a maior ordem é 3, lá do termo 2 y ' ' ' . Por isso,

2 y ' ' ' = 5 y - 4 y ' '

Agora devemos introduzir novas variáveis. A gente vai colocar a mesma quantidade de variáveis que a ordem da EDO menos 1. Aqui nós temos uma EDO de terceira ordem, então 2 novas variáveis: u , v

Agora precisamos determinar a cara dessas novas variáveis. Você sempre vai igualar uma delas a primeira derivada da função original, y . E depois vai igualando as outras variáveis as derivadas de ordem mais alta. Ficou confuso? É só fazer assim ó:

u = y '

v = y ' '

Agora devemos colocar essas novas variáveis lá na EDO original. Para isso devemos observar que

v ' = y ' ' '

Assim, a EDO original pode ser escrita como

2 y ' ' ' = 5 y - 4 y ' ' 2 v ' = 5 y - 4 v

Então a gente tem um sistema de 3 equações e 3 incógnitas. Não tá vendo? Deixa eu te mostrar:

u = y ' v = y ' ' v = u ' 2 v ' = 5 y - 4 v v ' = 5 2 y - 2 v

Essa é a forma normal da EDO. Só para deixar bem mastigadinho, quais são as incógnitas? y , v   e   u !

É muito importante que nós tenhamos cada equação da forma acima: uma derivada igual a uma função das incógnitas do problema. Se tivermos uma equação envolvendo duas derivadas, devemos manipular o sistema para eliminar uma das derivadas!

Agora vamos escrever aqueles dois vetores X ' t e X ( t )

X t = y u v ,     X ' t = y ' u ' v '

Partiu colocar na forma matricial? Partiu!

y ' u ' v ' = 0 1 0 0 0 1 5 2 0 - 2 y u v

Qual o passo a passo?

Vamos fazer um passo a passo esperto? Olha ele aqui:

  1. Passar as derivadas de maior ordem para um lado da equação e o resto para o outro.
  2. Realizar uma mudança de variável de forma que, seja n a derivada de maior grau, todas as derivadas de grau até n - 1 sejam renomeadas para uma nova variável.
  3. Escrever a derivada de maior grau em função das variáveis criadas.
  4. Montar o sistema na forma normal.
  5. Se uma das equações envolver mais de uma derivada, devemos tentar eliminá-la.

Agora e se em vez de uma EDO, já tivermos um sistema de EDO’s? Vem comigo que eu te mostro. Tomando o seguinte sistema de equações.

x ' ' - x ' + 5 x + 2 y ' ' = e t - 2 x + y ' ' + 2 y = 3 t 2

Vamos primeiro reescrever o sistema colocando as derivadas de maior grau de um lado e o resto da equação do outro.

x ' ' + 2 y ' ' = e t + x ' - 5 x y ' ' = 3 t 2 + 2 x - 2 y  

Agora temos que escrever cada equação em função de somente uma das derivadas de maior grau. A segunda equação já tá pronta, só aparece y ' ' , temos que mexer na primeira equação para que tenha somente x ' ' , desapareça o termo 2 y ' ' .

Multiplicando a segunda equação por 2 e subtraindo da primeira teremos.

x ' ' + 2 y ' ' - 2 y ' ' = e t + x ' - 5 x - 2 . ( 3 t 2 + 2 x - 2 y )

x ' ' = e t - 6 t 2 - 9 x + 4 y + x '

Nosso sistema agora está na seguinte forma.

x ' ' = e t - 6 t 2 - 9 x + 4 y + x ' y ' ' = 3 t 2 + 2 x - 2 y

Agora vamos fazer a mudança de variável. Como o grau máximo é 2 temos que fazer uma mudança de variável com as derivadas de ordem 1. Sendo assim.

x ' = u ,     y ' = v

Vamos agora calcular as derivadas de ordem 2, maior ordem, em função das mudanças de variável.

x ' ' = u ' ,     y ' ' = v '

Montar o sistema na forma normal vai ser só escrever aquelas duas equações do sistema em função das nossas variáveis novas. Sendo assim o sistema na forma normal fica.

u ' = e t - 6 t 2 - 9 x + 4 y + u v ' = 3 t 2 + 2 x - 2 y

x ' = u y ' = v u ' = e t - 6 t 2 - 9 x + 4 y + u v ' = 3 t 2 + 2 x - 2 y

Conseguimos pegar duas equações com derivadas de grau 2 e escrever em um sistema onde só temos equações com derivada de primeira ordem e onde as derivadas são escritas como combinação das outras funções. É assim que transformamos um sistema de equações na forma normal.

Sistema Degenerado

Um sistema degenerado é o nome que se dá a um sistema de equações que não possa ser escrito na forma normal. Isso ocorre quando ao tentarmos eliminar algumas derivadas de uma das equações eliminamos todas. Vamos analisar um exemplo

x ' + y ' = 0 2 x ' + 2 y ' + y = 0

Vamos tentar remover o termo x ' da segunda equação para escreve-la somente com y ' . Multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo ela da segunda.

2 x ' - 2 x ' + 2 y ' + y - 2 y ' = 0

y = 0

Como foi impossível escrever a segunda equação somente em função de y ' temos que será impossível escrever esse sistema na forma normal, ou seja, um sistema degenerado.

Por hora é isso pessoal, vamos para os exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp25-1

Escreva a equação diferencial dada como um sistema na forma normal.

y ' ' - 3 y ' + 4 y = sen 3 t

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para resolver essa problema temos que primeiro identificar a variável de maior ordem e colocar somente ela de um lado. No nosso problema a derivada de maior ordem é y ' ' .

y ' ' = 3 y ' - 4 y + sen 3 t

Passo 2

Como a EDO é de segunda ordem, só precisamos de uma nova variável u que vai ser da forma

u = y '

Derivando u em função de t .

u ' = y ' '

Passo 3

Como já escrevemos as derivadas em função da nossa nova variável podemos montar o sistema na forma normal.

y ' = u u ' = 3 u - 4 y + sen 3 t  

Resposta

y ' = u u ' = 3 u - 4 y + sen 3 t  

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp25-12

Escreva, se possível, o sistema dado na forma normal.

x ' ' - 2 y ' ' = sen t   x ' ' + y ' ' = cos t

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Como o nosso sistema de EDO’s já está com as derivadas de maior grau de um lado e as outras funções do outro, vamos escrever cada equação em função de somente uma derivada de segunda ordem.

Para fazermos isso, é como se nós estivéssemos resolvendo um simples sisteminha de equações para as variáveis x ' ' e y ' ' .

Resolvendo esse “sisteminha” isolando os termos x ' ' e y ' ' , ficamos com o seguinte sistema:

3 x ' ' = 2 cos t + sen t   3 y ' ' = cos t - sen t

Passo 2

Chamando cada derivada de primeira ordem de uma nova variável.

u = x ' ,     v = y '

Derivando as equações em função de t .

u ' = x ' ' ,     v ' = y ' '

Passo 3

Como já escrevemos as derivadas em função das nossas novas variáveis podemos montar o sistema na forma normal.

x ' = u y ' = v 3 u ' = 2 cos t + sen t 3 v ' = cos t - sen t

Resposta

x ' = u y ' = v 3 u ' = 2 cos t + sen t 3 v ' = cos t - sen t

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp25-13(Modificado)

Escreva, se possível, o sistema dado na forma normal.

2 x ' + x - 2 y ' = t 2 x ' - y ' = e t

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A derivada de maior ordem é a derivada de ordem um, vamos reescrever o sistema de forma a deixar essas derivadas de um lado das equações e as demais funções do outro.

2 x ' - 2 y ' = t 2 - x x ' - y ' = e t

Dividindo a primeira equação por 2.

x ' - y ' = t 2 2 - x 2 x ' - y ' = e t

Passo 2

Se tentarmos remover x ' ou y ' de alguma das equações vamos perceber que é impossível remover um sem remover o outro, logo, o sistema trata-se de um sistema degenerado e não pode ser escrito na forma normal.

Resposta

O sistema é um sistema degenerado e não pode ser escrito na forma normal.

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