Exercícios Resolvidos de Circuito com Transformadores no Modelo Série

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Enunciado

No circuito abaixo, os transformadores são ideais. Calcule:

( a ) As correntes do gerador ( I G ) , da linha ( I L ) e da carga ( I C ) ;

( b ) A tensão na carga ( V C ) ;

( c ) A potência complexa entregue à carga;

( d ) As perdas na linha de transmissão.

Utilize como tensão base 480V e potência base 10kVA para a região do gerador.

Passo 1

Como esse sistema possui mais de um transformador, vamos resolver esse exercício utilizando o sistema PU. A gente vai trabalhar sem se preocupar em refletir o circuito para um dos lados dos transformadores e depois basta multiplicarmos pelas bases que determinamos para encontrar os valores em A ,   V e .

Então, como vamos trabalhar em pu, temos que encontrar o valor base das grandezas. Vamos dividir esse sistema em três regiões e determinar as grandezas base de cada região.

Passo 2

Para região 1 (gerador) o enunciado disse os valores de base escolhidos para esse sistema são 480   V e 10   k V A . Então,

P b a s e = 10   k V A

V b a s e 1 = 480   V

Com esses valores bases a gente já consegue determinar os valores base para a impedância e corrente da região 1.

Z b a s e 1 = V b a s e 1 2 P b a s e

Z b a s e 1 = 480 2 10 × 10 3

Z b a s e 1 = 23,04   Ω

I b a s e 1 = P b a s e V b a s e 1

I b a s e 1 = 10 × 10 3 480

I b a s e 1 = 20,83   A

Para região 2, a potência base é a mesma, já que a gente escolhe uma para todo o circuito.

P b a s e = 10   k V A

Como a relação de transformação do transformador 1 é 1:10,

α = 1 10 = 0,1

A tensão base na região 2 tem que respeitar essa relação de transformação.

V b a s e 2 = V b a s e 1 α

V b a s e 2 = 480 0,1 = 4800   V

Então, a corrente e impedância base dessa região são:

I b a s e 2 = P b a s e V b a s e 2

I b a s e 2 = 10 × 10 3 4800

I b a s e 2 = 2,083   A

Z b a s e 2 = V b a s e 2 2 P b a s e

Z b a s e 2 = 4800 2 10 × 10 3

Z b a s e 2 = 2304   Ω

Passo 3

A relação de transformação do segundo transformador é 20:1,

α = 20 1 = 20

Então, respeitando a relação de transformação, a tensão base na região 3 será:

V b a s e 3 = V b a s e 2 α

V b a s e 3 = 4800 20

V b a s e 3 = 240   V

Então, a corrente e impedância base dessa região são:

I b a s e 3 = P b a s e V b a s e 3

I b a s e 3 = 10 × 10 3 240

I b a s e 3 = 41,67   A

Z b a s e 3 = V b a s e 3 2 P b a s e

Z b a s e 3 = 240 2 10 × 10 3

Z b a s e 3 = 5,76   Ω

Passo 4

Agora que os valores bases estão calculados, vamos passar nosso circuito inicial para pu. Para isso, pegamos o valor de cada grandeza que temos em nosso circuito e dividimos por seu respectivo valor base.

v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e

Da região 1, temos a tensão por unidade do gerador:

V G p u = V G V V b a s e 1

V G p u = 480 ∠ 0 ° 480

V G p u = 1 ∠ 0 °   p u

Da região 2, calculamos a impedância por unidade da linha:

Z l i n h a p u = Z l i n h a Ω Z b a s e 2

Z l i n h a p u = 20 + j 60 2304

Z l i n h a p u = 0,00868 + j 0,026   p u

Já da região 3, calculamos a impedância da carga em pu:

Z C p u = Z C a r g a Ω Z b a s e 3

Z C p u = 10 ∠ 30 ° 5,76

Z C p u = 1,736 ∠ 30 °   p u

Passo 5

Agora, vamos desenhar o circuito equivalente por unidade desse sistema.

Observe que, em pu, o valor para a corrente é o mesmo em todos os trechos do sistema:

I G p u = I l i n h a p u = I C p u = I ( p u )

Vamos calcular essa corrente. Pela lei de Ohm:

I p u = V G p u 0,00868 + j 0,026 + Z C p u

I p u = 1 ∠ 0 ° 0,00868 + j 0,026 + 1,736 ∠ 30 °

I p u = 1 ∠ 0 ° 0,00868 + j 0,026 + 1,50342 + j 0,868

I p u = 1 ∠ 0 ° 1,5121 + j 0,894

I p u = 1 ∠ 0 ° 1,756 ∠ 30,59 °

I p u = 0,569 ∠ - 30,59 °   p u

Passo 6

Agora, precisamos encontrar as correntes em cada região do circuito em ampère. Para isso, temos que multiplicar o valor em pu pelo valor base de cada região onde está a corrente.

v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e       →       v a l o r   r e a l = v a l o r   p u × v a l o r   b a s e

Então, a corrente no gerador será:

I G ( A ) = I p u × I b a s e 1

I G ( A ) = ( 0,569 ∠ - 30,59 ° ) × 20,83

I G A = 11,85 ∠ - 30,59 °   A

Já a corrente da linha será:

I l i n h a ( A ) = I p u × I b a s e 2

I l i n h a ( A ) = ( 0,569 ∠ - 30,59 ° ) × 2,083

I l i n h a A = 1,185 ∠ - 30,59 °   A

Agora, calculando a corrente da carga:

I C ( A ) = I p u × I b a s e 3

I C ( A ) = ( 0,569 ∠ - 30,59 ° ) × 41,67

I C A = 23,65 ∠ - 30,59 °   A

Passo 7

Na letra ( b ) , temos que calcular a tensão que está sendo aplicada na carga. Logo, pela lei de Ohm:

V C ( p u ) = Z C ( p u ) × I ( p u )

V C ( p u ) = ( 1,736 ∠ 30 ° ) × ( 0,569 ∠ - 30,59 ° )

V C p u = 0,988 ∠ - 0,59 °   p u

Como a carga está na região 3, o valor base da tensão da carga é V b a s e 3 . Logo, a tensão na carga em volts será:

V C V = V C p u × V b a s e 3

V C V = ( 0,988 ∠ - 0,59 ° ) × 240

V C V = 237,12 ∠ - 0,59 °   V

Passo 8

Pela definição, a potência complexa entregue à carga é

S = V C × I C *

S = ( 237,12 ∠ - 0,59 ° ) × ( 23,65 ∠ 30,59 ° )

S = 5608,68 ∠ 30 °   V A

Passo 9

Na letra ( d ) , temos que calcular as perdas na linha de transmissão. As perdas estão relacionadas à parte resistiva da linha. Logo,

P p e r d a s = R l i n h a I l i n h a 2

P p e r d a s = 20 × 1,185 2

P p e r d a s = 28,08   W

Resposta

a   I G = 11,85 ∠ - 30,59 °   A ;   I l i n h a = 1,185 ∠ - 30,59 °   A ;   I C = 23,65 ∠ - 30,59 °   A

( b ) V C = 237,12 ∠ - 0,59 °   V

c   5608,68 ∠ 30 °   V A

d   P p e r d a s = 28,08   W

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