Exercícios Resolvidos de Circuito com Transformadores no Modelo Série

Lista professor João Salvador, UFRJ, Ex. 3

Um gerador monofásico de 1 3 , 2 k V alimenta uma carga através de uma linha de transmissão. A impedância da carga é 500 ∠ 36,87 °   Ω e da linha é 60 ∠ 53,1 °   Ω .

a   Se um gerador for conectado diretamente à carga como no circuito abaixo, qual é a razão entre a tensão da carga e a tensão gerada U G ? Quais os valores das perdas do sistema?

b Se dois transformadores forem colocados no sistema conforme o circuito abaixo, qual será o valor da nova razão entre as tensões da carga e do gerador? Quais os valores das perdas no sistema agora? (Os transformadores podem ser considerados ideais)

Passo 1

Para fazer letra ( a ) primeiro temos que encontrar a corrente do circuito:

Pela Lei de Ohm, a corrente na carga será:

I C = 13,2 × 10 3 ∠ 0 ° 60 ∠ 53,1 ° + 500 ∠ 36,87 °

I C = 13,2 × 10 3 ∠ 0 ° 36,02 + j 47,98 + 400 + j 300

I C = 13,2 × 10 3 ∠ 0 ° 436,02 + j 347,98

I C = 13,2 × 10 3 ∠ 0 ° 557,86 ∠ 38,59 °

I C = 23,66 ∠ - 3 8,6 °   A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A tensão da carga será:

V C = Z c a r g a × I C

V C = 500 ∠ 36,87 ° × 23,66 ∠ - 38,6 °  

V C = 11831,01 ∠ - 1,72 °   V

Passo 3

A razão entre a tensão da carga e do gerador será:

V C U G = 11831,01 13200

V C U G = 0,89628

Isso significa que a tensão da carga é 89,628 % da tensão do gerador.

Passo 4

As perdas do sistema serão causadas pela resistência da linha de transmissão. Então:

P p e r d a s = R l i n h a × I c 2

A resistência da linha será:

R l i n h a = 60 × cos ⁡ 53,1 °

R l i n h a = 36,02   Ω

Logo:

P p e r d a s = 36,02 × 23,66 2

P p e r d a s = 20163,83   W

Passo 5

Para a letra ( b ) precisaremos calcular a nova tensão em cima da carga.

Como a gente quer saber a tensão em cima da carga, vamos refletir tudo para o primário do transformador 1.

A relação de transformação do transformador 1 é:

α 1 = 1 10                       ( i )

A relação de transformação do transformador 2 é:

α 2 = 10 1 = 10                   ( i i )

Refletindo a carga do secundário para o primário do transformador 2:

Z C ' = α 2 2   Z C                 ( i i i )

Até então o circuito está assim:

Agora, temos que refletir a impedância da carga novamente, mas desta vez para o primário do transformador 1 ( Z C ' ' ) . Então:

Z C ' ' = α 1 2   Z ' C     ( i v )

Substituindo a equação ( i i i ) na equação ( i v ) :

Z C ' ' = α 1 2   α 2 2   Z C  

Logo:

Z C ' ' = α 1 2   α 2 2     Z C  

Z C ' ' = 1 10 2 × 10 2 ×   Z C  

Z C ' ' =   Z C  

Esse resultado é interessante, porque diz que a impedância do secundário do transformador 2 é igual à impedância refletida para o primário do transformador 1. Mas por que isso aconteceu?

Se a gente notar, as relações de transformação têm valores inversos. Isso faz com que, no final de tudo, elas simplifiquem. Então:

Z C ' ' =   Z C     →       Z C ' ' = 500 ∠ 36,87 °   Ω  

Ou, ainda:

Z C ' ' = 400 + j 300     Ω  

Passo 6

Agora falta a gente refletir a impedância da linha do secundário para o primário do transformador 1. Então:

Z L ' = α 1 2   Z L

Z L ' = 1 10 2 ( 60 ∠ 53,1 ° )

Z L ' = 0,6 ∠ 53,1 °   Ω

Ou, ainda:

Z L ' = 0,36 + j 0,48     Ω

Passo 7

Depois de fazer todas as reflexões necessárias, temos o seguinte circuito:

Pela Lei de Ohm, a corrente do circuito será:

I C = U G Z L ' + Z C ' '

I C = 13200 ∠ 0 ° 0,36 + j 0 , 48 + 400 + j 300

I C = 13200 ∠ 0 ° 400,36 + j 300,48

I C = 13200 ∠ 0 ° 500,576 ∠ 36,89 °

I C = 26,37 ∠ - 36,89 °   A

Passo 8

Portanto, a nova tensão na carga será:

V C = Z ' ' c a r g a × I C

V C = ( 500 ∠ 36,87 ° ) × 26,37 ∠ - 36,89 °  

V C = 13 185 ∠ - 0,0 2 °   V

Passo 9

Após a conexão dos dois transformadores no circuito, a nova razão entre as tensões da carga e da fonte será:

V C U G = 13185 13200

V C U G = 0,9988

Isso significa que a tensão da carga é 99,88 % da tensão do gerador.

Passo 10

As perdas do sistema serão causadas pela resistência da linha de transmissão. Então:

P p e r d a s = R ' l i n h a × I c 2

P p e r d a s = 0 , 36 × 2 6 , 37 2

P p e r d a s = 250,33   W

Resposta

a       V C U G = 0,89628   o u   89,628 %                         P p e r d a s = 20163,83   W

b       V C U G = 0,9988   o u   99,88 %                         P p e r d a s = 250,33   W

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