Exercícios Resolvidos de Circuito com Transformadores no Modelo Série

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Enunciado

Medidas feitas em um transformador de 500   k V A ,   2300 / 230   V , conduziram aos seguintes valores para a reatância e resistência série equivalentes referidas ao secundário (lado de baixa tensão):

X = 0,006   Ω       e       R = 0,002   Ω

A corrente de uma carga conectada ao lado de BT é igual à corrente nominal do transformador. Calcule a tensão na saída (secundário), a regulação de tensão e o rendimento do transformador quando o fator de potência da carga for igual a:

a   F P = 1,0 ;

b   F P = 0,8   a t r a s a d o ;

c   F P = 0,6   a d i a n t a d o .

Passo 1

Antes de começar a fazer a questão, vamos desenhar o esquema do circuito:

Vamos refletir a tensão do primário para o secundário para simplificarmos o circuito. A relação de transformação desse transformador é:

α = V 1 V 2 = 2300 230

α = 10

Então, a tensão do primário refletida para o secundário será:

V 1 ' = V 1 α

V 1 ' = 2300 10

V 1 ' = 230   V

Nesse exercício, vamos considerar sempre que a tensão na carga está na referência e que a tensão no primário terá uma defasagem de um ângulo ϕ em relação a ela, ou seja:

V 2 = V 2 ∠ 0 °         e         V 1 ' = 230 ∠ ϕ

Logo, o circuito referido ao secundário será:

Passo 2

Lembrando que o F P = cos ⁡ θ . Se o F P = 1 , então θ = 0 ° , o que implica que tensão e corrente estão em fase e a carga é puramente resistiva.

De acordo com o enunciado, a corrente do lado de baixa é igual à corrente nominal:

I 2 = I N = 500 × 10 3 230

I 2 = 2173,9   A

Utilizando a Lei das tensões de Kircchoff no circuito do secundário, temos:

230 ∠ ϕ - 0,002 + J 0,006 × 2173,9 -   V 2 ∠ 0 ° = 0  

230 ∠ ϕ = V 2 ∠ 0 ° + ( 0,006324 ∠ 71,56 ° ) × 2173,9

230 ∠ ϕ = V 2 ∠ 0 ° + 13,75 ∠ 71,56 °

Passando para forma retangular:

230 cos ⁡ ϕ + j 230 sin ⁡ ϕ = V 2 cos ⁡ ( 0 ) + j V 2 sin ⁡ ( 0 ) + 13,75 cos ⁡ ( 71,56 ° ) + j sin ⁡ ( 71,56 )

230 cos ⁡ ϕ + j 230 sin ⁡ ϕ = V 2 + 4,35 + j 0,9486

Igualando a parte imaginária do termo à esquerda da equação com a parte imaginária do termo à direita:

230 sin ⁡ ϕ = 0,9486

sin ⁡ ϕ = 0,9486 230

sin ⁡ ϕ = 0,00412

Logo, o ângulo ϕ será:

ϕ = sin - 1 ⁡ 0,00412 = 0,236 °

Agora, igualando as partes reais:

230 cos ⁡ ϕ = V 2 + 4,35

230 cos ⁡ ( 0,236 ° ) = V 2 + 4,35

V 2 = 229,998 - 4,35

V 2 = 225,65   V

Passo 3

A regulação de tensão é dada pela relação:

R T = V V a z i o - V C a r g a V C a r g a × 100

A tensão a vazio é aquela quando não há carga conectada nos terminais do secundário, ou seja, não há corrente circulando pelo secundário e, consequentemente, não tem queda de tensão na impedância equivalente do transformador.

Logo, consideremos que toda a tensão refletida do primário é aplicada no secundário.

V V a z i o = V 1 ' = 230   V

Já a tensão com carga é a tensão aplicada no secundário do transformador quando a carga está conectada, ou seja:

V C a r g a = V 2 = 226,03   V

Então, a regulação de tensão do transformador para a carga com fator de potência unitário será:

R T = 230 - 225,65 225,65 × 100

R T = 1,93   %

Passo 4

O rendimento de um transformador é definido como sendo

η = P s a í d a P e n t r a d a × 100

Em que a potência de entrada é a soma da potência de saída somado com as perdas na linha de transmissão e no enrolamento do transformador.

P e n t r a d a = P s a í d a + P p e r d a s

A potência de saída é a potência ativa na carga, ou seja,

P s a i d a = S × F P

P s a i d a = 500 × 1

P s a i d a = 500   k W

Já as perdas estão relacionadas às resistências do transformador. Logo,

P p e r d a s = R I 2 2

P p e r d a s = 0,002 × 2173,9 2

P p e r d a s = 9451,7   W

P p e r d a s = 9,45   k W

Então, a potência de entrada será:

P e n t r a d a = P s a í d a + P p e r d a s

P e n t r a d a = 500 + 9,45

P e n t r a d a = 509,45   k W

Finalmente, calculando o rendimento:

η = P s a í d a P e n t r a d a × 100

η = 500 509,45 × 100

η = 98,1   %

Passo 5

Agora, o F P = 0,8 atrasado. Logo, a carga é predominantemente indutiva e a corrente está atrasada em relação à tensão.

Como, cos ⁡ θ = 0,8 o ângulo será:

θ = cos - 1 ⁡ 0,8 = 36,87 °

De acordo com o enunciado, a corrente do lado de baixa é igual à corrente nominal:

I 2 = I N = 500 × 10 3 230

I 2 = 2173,9   A

Só que agora seu ângulo não é zero. Como ela está atrasada em relação à tensão seu ângulo será negativo.

I 2 = 2173,9 ∠ - 36,87 °   A

Passo 6

Utilizando a Lei das tensões de Kircchoff no circuito do secundário, temos:

230 ∠ ϕ - 0,002 + J 0,006 × ( 2173,9 ∠ - 36,87 ° ) -   V 2 ∠ 0 ° = 0  

230 ∠ ϕ = V 2 ∠ 0 ° + ( 0,006324 ∠ 71,56 ° ) × ( 2173,9 ∠ - 36,87 ° )

230 ∠ ϕ = V 2 ∠ 0 ° + 13,75 ∠ 34,7 °

Passando para forma retangular:

230 cos ⁡ ϕ + j 230 sin ⁡ ϕ = V 2 cos ⁡ ( 0 ) + j V 2 sin ⁡ ( 0 ) + 13,75 cos ⁡ ( 34,7 ° ) + j sin ⁡ ( 34,7 ° )

230 cos ⁡ ϕ + j 230 sin ⁡ ϕ = V 2 + 11,3 + j 0,5693

Igualando a parte imaginária do termo à esquerda da equação com a parte imaginária do termo à direita:

230 sin ⁡ ϕ = 0,5693

sin ⁡ ϕ = 0,5693 230

sin ⁡ ϕ = 0,00248

Logo, o ângulo ϕ será:

ϕ = sin - 1 ⁡ 0,00248 = 0,142 °

Agora, igualando as partes reais:

230 cos ⁡ ϕ = V 2 + 11,3

230 cos ⁡ ( 0,142 ° ) = V 2 + 11,3

V 2 = 230 - 11,3

V 2 = 218,7   V

Passo 7

Então, a regulação de tensão do transformador para a carga com F P = 0,8 atrasado será:

R T = 230 - 218,7 218,7 × 100

R T = 5,17   %

Passo 8

Sabemos que a formula do rendimento é essa:

η = P s a í d a P e n t r a d a × 100

Em que a potência de entrada é a soma da potência de saída somado com as perdas na linha de transmissão e no enrolamento do transformador.

P e n t r a d a = P s a í d a + P p e r d a s

A potência de saída é a potência ativa na carga, ou seja,

P s a i d a = S × F P

P s a i d a = 500 × 0,8

P s a i d a = 4 00   k W

Já as perdas estão relacionadas às resistências do transformador. Logo,

P p e r d a s = R I 2 2

P p e r d a s = 0,002 × 2173,9 2

P p e r d a s = 9451,7   W

P p e r d a s = 9,45   k W

Então, a potência de entrada será:

P e n t r a d a = P s a í d a + P p e r d a s

P e n t r a d a = 4 00 + 9,45

P e n t r a d a = 4 09,45   k W

Finalmente, calculando o rendimento:

η = P s a í d a P e n t r a d a × 100

η = 4 00 4 09,45 × 100

η = 97,7   %

Passo 9

Na letra ( c ) , o F P = 0 , 6 adiantado. Logo, a carga é predominantemente capacitiva e a corrente está adiantada em relação à tensão.

Como, cos ⁡ θ = 0,6 o ângulo será:

θ = cos - 1 ⁡ 0,6 = 53,13 °

De acordo com o enunciado, a corrente do lado de baixa é igual à corrente nominal:

I 2 = I N = 500 × 10 3 230

I 2 = 2173,9   A

Só que agora seu ângulo não é zero. Como a corrente está adiantada em relação à tensão seu ângulo será positivo.

I 2 = 2173,9 ∠ 53,13 °   A

Passo 10

Utilizando a Lei das tensões de Kircchoff no circuito do secundário, temos:

230 ∠ ϕ - 0,002 + J 0,006 × ( 2173,9 ∠ 53,13 ° ) -   V 2 ∠ 0 ° = 0  

230 ∠ ϕ = V 2 ∠ 0 ° + ( 0,006324 ∠ 71,56 ° ) × ( 2173,9 ∠ 53,13 ° )

230 ∠ ϕ = V 2 ∠ 0 ° + 13,75 ∠ 1 24,69 °

Passando para forma retangular:

230 cos ⁡ ϕ + j 230 sin ⁡ ϕ = V 2 cos ⁡ ( 0 ) + j V 2 sin ⁡ ( 0 ) + 13,75 cos ⁡ ( 124,69 ° ) + j sin ⁡ ( 1 24,69 ° )

230 cos ⁡ ϕ + j 230 sin ⁡ ϕ = V 2 - 7,82 + j 0,822

Igualando a parte imaginária do termo à esquerda da equação com a parte imaginária do termo à direita:

230 sin ⁡ ϕ = 0 , 822

sin ⁡ ϕ = 0 , 822 230

sin ⁡ ϕ = 0,0035 7

Logo, o ângulo ϕ será:

ϕ = sin - 1 ⁡ 0,00 357 = 0,204 °

Agora, igualando as partes reais:

230 cos ⁡ ϕ = V 2 - 7,82

230 cos ⁡ ( 0 , 2 39 ° ) = V 2 - 7,82

V 2 = 229,998 + 7,82

V 2 = 237,8   V

Passo 11

Então, a regulação de tensão do transformador para a carga com F P = 0,6 adiantado será:

R T = 230 - 237,8 2 37,8 × 100

R T = - 3,28   %

Não se espante com o sinal de menos! A regulação de tensão para cargas predominantemente capacitivas pode dar valor negativo.

Passo 12

Sabemos que a formula do rendimento é essa:

η = P s a í d a P e n t r a d a × 100

Como,

P e n t r a d a = P s a í d a + P p e r d a s

A potência de saída é a potência ativa na carga, ou seja,

P s a i d a = S × F P

P s a i d a = 500 × 0,6

P s a i d a = 3 00   k W

Já as perdas estão relacionadas às resistências do transformador. Logo,

P p e r d a s = R I 2 2

P p e r d a s = 0,002 × 2173,9 2

P p e r d a s = 9451,7   W

P p e r d a s = 9,45   k W

Então, a potência de entrada será:

P e n t r a d a = P s a í d a + P p e r d a s

P e n t r a d a = 3 00 + 9,45

P e n t r a d a = 3 09,45   k W

Finalmente, calculando o rendimento:

η = P s a í d a P e n t r a d a × 100

η = 3 00 3 09,45 × 100

η = 96,9   %

Resposta

a   V 2 = 225,65   V ;   R T = 1,93   % ;   η = 98,1   %  

b   V 2 = 218,7   V ;   R T = 5,17   % ;   η = 97,7   %    

c   V 2 = 237,8   V ;   R T = - 3,28   % ;   η = 96,9   %    

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