Considere um sistema de potência simples consistindo em uma fonte ideal de tensão, um transformador elevador ideal, uma linha de transmissão, um transformador abaixador ideal e uma carga. A tensão da fonte é V S = 480 ∠ 0 °   V . A impedância da linha de transmissão é Z l i n h a = 3 + j 4   Ω e a impedância da carga é Z c a r g a = 30 + j 40   Ω .

a   Assuma que os transformadores não estão presentes no circuito. Qual é a tensão da carga e a eficiência do sistema?

b Assuma que o transformador 1 é um transformador elevador 1 : 5 e que o transformador   2   é um transformador abaixador 5 : 1 . Qual é a tensão da carga e a eficiência do sistema?

Passo 1

Na letra ( a ) ele pede para desconsiderar os dois transformadores. Então o circuito será:

Pela Lei de Ohm, a corrente na carga será:

I C = 480 ∠ 0 ° 3 + j 4 + 30 + j 40

I C = 8,7272 ∠ - 53,13 °   A

Logo, a tensão da carga será:

V C = Z c a r g a × I C

V C = 30 + j 40 × 8,7272 ∠ - 53,13 °  

V C = 50 ∠ 53,13 ° × 8,7272 ∠ - 53,13 °  

V C = 436,36 ∠ 0 °   V

Passo 2

Para calcular a eficiência do sistema, fazemos:

P s a í d a = P c a r g a = R × I C 2

P s a í d a = 30 × 8,7272 2

P s a í d a = 2284,92   W

Lembrando que as perdas ocorrem da linha de transmissão, a potência de entrada será:

P e n t r a d a = P s a í d a + P p e r d a s

P e n t r a d a = 2284,92 + 3 × 8,7272 2

P e n t r a d a = 2513,41   W

Logo, a eficiência será:

η = P s a í d a P e n t r a d a × 100

η = 2284,92 2513,41 × 100

η = 90,9 %

Passo 3

Na letra ( b ) ele se refere ao circuito abaixo:

Como a gente quer saber a tensão em cima da carga, vamos refletir tudo para o primário do transformador 1.

A relação de transformação do transformador 1 é:

α 1 = 1 5                       ( i )

A relação de transformação do transformador 2 é:

α 2 = 5 1 = 5                   ( i i )

Refletindo a carga do secundário para o primário do transformador 2:

Z C ' = α 2 2   Z C                 ( i i i )

Até então o circuito está assim:

Agora, temos que refletir a impedância da carga novamente, mas desta vez para o primário do transformador 1 ( Z C ' ' ) . Então:

Z C ' ' = α 1 2   Z ' C     ( i v )

Substituindo a equação ( i i i ) na equação ( i v ) :

Z C ' ' = α 1 2   α 2 2   Z C  

Logo:

Z C ' ' = α 1 2   α 2 2     Z C  

Z C ' ' = 1 5 2 × 5 2 ×   Z C  

Z C ' ' =   Z C  

Esse resultado é interessante, porque diz que a impedância do secundário do transformador 2 é igual à impedância refletida para o primário do transformador 1. Mas por que isso aconteceu?

Se a gente notar, as relações de transformação têm valores inversos. Isso faz com que, no final de tudo, elas simplifiquem. Então:

Z C ' ' =   Z C     →       Z C ' ' = 30 + j 40   Ω  

Passo 4

Agora falta a gente refletir a impedância da linha do secundário para o primário do transformador 1. Então:

Z l i n h a ' = α 1 2   Z l i n h a

Z l i n h a ' = 1 5 2 ( 3 + j 4 )

Z l i n h a ' = 0,12 + j 0,16     Ω

Passo 5

Para calcularmos a corrente que circula no circuito abaixo, utilizamos a Lei de Ohm:

I C = V S Z l i n h a ' + Z C ' '

I C = 480 ∠ 0 ° 0,12 + j 0,16 + 30 + j 40

I C = 480 ∠ 0 ° 30,12 + j 40,16

I C = 480 ∠ 0 ° 50,2 ∠ 53,13 °

I C = 9,56 ∠ - 53,13 °   A

Passo 6

Logo, a tensão na carga será:

V C = Z C ' ' × I C

V C = 30 + j 40 × 9,56 ∠ - 53,13 °

V C = 50 ∠ 53,13 ° × 9,56 ∠ - 53,13 °

V C = 478 ∠ 0 °   V  

Passo 7

Agora vamos calcular a eficiência do sistema:

P s a í d a = P c a r g a = R × I c 2

P s a í d a = 30 × 9,56 2

P s a í d a = 2741,808   W

A potência de entrada tem que levar em consideração as perdas na linha de transmissão:

P e n t r a d a = P s a í d a + P p e r d a s

P e n t r a d a = 2741,808 + 0,12 × 9,56 2

P e n t r a d a = 2752,775   W  

Portanto, a eficiência será:

η = P s a í d a P e n t r a d a × 100

η = 2741,808 2752,775 × 100

η = 99,6 %      

Resposta

a     V C = 436,36 ∠ 0 °   V         e       η = 90,9 %

b     V C = 4 78 ∠ 0 °   V         e       η = 9 9,6 %

Exercícios Resolvidos de Circuito com Transformadores no Modelo Série

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