Exercícios Resolvidos de Circuito com Transformadores no Modelo Série

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Enunciado

Considere o circuito abaixo. A fonte alimenta um transformador ( 100   k V A ,   14 / 2,4   k V ) através de uma linha de transmissão. A impedância série do circuito equivalente do transformador referida ao lado de menor tensão é Z T = 0,12 + j 0,5   Ω . A carga que está conectada ao transformador é de 90     k W com fator de potência igual a 0,85 atrasado, e a tensão entre seus terminais é igual a 2300   V . Pergunta-se:

( a ) Qual a tensão da fonte (fasor)?

( b ) Qual é a regulação de tensão do transformador?

( c ) Qual é a eficiência total desse sistema?

Passo 1

Já fizemos um exercício muito parecido com esse, mas, agora, vamos resolver esse exercício de uma outra maneira. Vamos resolvê-lo utilizando sistema PU.

Então, como vamos trabalhar em pu, temos que encontrar o valor base das grandezas. Podemos dividir esse sistema em dois trechos. O trecho 1 que é o lado do primário do transformador e o trecho 2 que corresponde ao lado do secundário.

Passo 2

Vamos escolher como bases os valores nominais do transformador. Logo a potência base escolhida para todo o sistema será:

P b a s e = 100   k V A

Além disso, cada trecho vai ter uma tensão base:

V b a s e 1 = 14   k V         e         V b a s e 2 = 2,4   k V

Com esses valores bases a gente já consegue determinar os valores base para a impedância e corrente das duas regiões.

Z b a s e 1 = V b a s e 1 2 P b a s e

Z b a s e 1 = ( 14 × 10 3 ) 2 100 × 10 3

Z b a s e 1 = 1960   Ω

I b a s e 1 = P b a s e V b a s e 1

I b a s e 1 = 100 × 10 3 14 × 10 3

I b a s e 1 = 7,143   A

Z b a s e 2 = V b a s e 2 2 P b a s e

Z b a s e 2 = 2400 2 100 × 10 3

Z b a s e 2 = 57,6   Ω

I b a s e 2 = P b a s e V b a s e 2

I b a s e 2 = 100 × 10 3 2400

I b a s e 2 = 41,67   A

Passo 3

Agora que os valores bases estão calculados, vamos passar nosso circuito inicial para pu. Para isso, pegamos o valor de cada grandeza que temos em nosso circuito e dividimos por seu respectivo valor base.

v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e

Da trecho 1, calculamos a impedância por unidade da linha:

Z l i n h a p u = Z l i n h a Ω Z b a s e 1

Z l i n h a p u = 40 + j 150 1960

Z l i n h a p u = 0,0204 + j 0,0765   p u

Já do trecho 2, calculamos a impedância série do circuito equivalente do transformador em pu:

Z T p u = Z T Ω Z b a s e 2

Z T p u = 0,12 + j 0,5 57,6

Z T p u = 0,00208 + j 0,00868   Ω

Além disso, vamos considerar que a tensão da carga está na referência, ou seja, seu ângulo é zero:

V C = 2300 ∠ 0 °

Como o transformador alimenta uma carga com 90   k W e F P = 0,8 5 atrasado, podemos encontrar o conjugado da corrente na carga.

I C * = S V C

Como,

S = S ∠ θ

E

S = P 0,85

S = 90 0,85 = 105,88   k V A

Além disso, o ângulo da potência complexa S é o ângulo do fator de potência. Como o fator de potência é atrasado, a carga é predominantemente indutiva e seu ângulo é positivo.

θ = cos - 1 ⁡ 0,85 = 31,79 °

Então, calculando a corrente da carga:

I C * = 105,88 × 10 3 ∠ 31,79 ° 2300 ∠ 0 °

I C * = 46,03 ∠ 31,79 °   A

I C = 46,03 ∠ - 31,79 °   A

Então, passando a tensão e a corrente da carga para pu:

V C ( p u ) = V C V V b a s e 2

V C ( p u ) = 2300 ∠ 0 ° 2400

V C p u = 0,958 ∠ 0 °   p u

I C p u = I C A I b a s e 2

I C p u = 46,03 ∠ - 31,79 °   41,67

I C p u = 1,105 ∠ - 31,79 °   p u

Passo 4

Agora, vamos desenhar o circuito equivalente por unidade desse sistema.

Agora é aplicar a lei das tensões de Kirchhoff na malha do circuito:

V G ( p u ) - 0,0204 + j 0,0765 + 0,00208 + j 0,00868 × I C p u - V C p u = 0

V G p u = 0,02248 + j 0,08518 × 1,105 ∠ - 31,79 ° + 0,958 ∠ 0 °

V G p u = 0,08809 ∠ 75,22 ° × 1,105 ∠ - 31,79 ° + 0,958 ∠ 0 °

V G p u = 0,09734 ∠ 43,43 ° + 0,958 ∠ 0 °

V G p u = 0,07069 + j 0,06692 + 0,958

V G p u = 1,0287 + 0,06692   p u

V G p u = 1,0309 ∠ 3,72 °   p u

Encontramos a tensão do gerador em pu. Agora, precisamos passá-la para volts. Para isso, temos que multiplicar o valor em pu pelo valor base da tensão do gerador.

v a l o r   p u = v a l o r   r e a l v a l o r   b a s e       →       v a l o r   r e a l = v a l o r   p u × v a l o r   b a s e

Como o gerador está no primeiro trecho, sua tensão base é V b a s e 1 . Logo,

V G V = V G p u × V b a s e 1

V G V = 1,0309 ∠ 3,72 °   × 14

V G V = 14,433 ∠ 3,72 °   k V

Passo 5

Na letra ( b ) , temos que tomar cuidado, pois temos que calcular a regulação de tensão do transformador e não a regulação de tensão do sistema (linha + transformador).

Então, como queremos calcular a regulação de tensão apenas do transformador, temos que considerar a tensão após a queda de tensão na impedância da linha. Se liga no circuito abaixo:

Então, a tensão do primário, em pu, será:

V 1 ( p u ) - 0,00208 + j 0,00868 I C ( p u ) - V C ( p u ) = 0

V 1 p u = 0,00208 + j 0,00868 × 1,105 ∠ - 31,79 ° + 0,958 ∠ 0 °

V 1 p u = 0,008926 ∠ 76,52 ° × 1,105 ∠ - 31,79 ° + 0,958 ∠ 0 °

V 1 p u = 0,009863 ∠ 44,73 ° + 0,958 ∠ 0 °

V 1 p u = 0,00701 + j 0,00694 + 0,958

V 1 p u = 0,965 + j 0,00694   p u

V 1 p u = 0,965 ∠ 0,41 °   p u

A regulação de tensão é calculada pela seguinte fórmula:

R T = V V a z i o - V C a r g a V C a r g a × 100

No nosso circuito, quando a carga está ligada, a tensão nos terminais do secundário é igual à tensão que está sendo aplicada na carga. Logo,

V C a r g a = V C = 0,958   p u

Já a tensão a vazio, é a tensão quando retiramos a carga, ou seja, não há corrente e, consequentemente, não tem queda de tensão na impedância equivalente do transformador. Logo, consideremos que toda a tensão do primário é aplicada no secundário.

V V a z i o = V 1 = 0,965   p u

Então, a regulação de tensão desse transformador será:

R T = 0,965 - 0,958 0,958 × 100

R T = 0,73   %

Passo 6

O rendimento de um sistema é definido como sendo

η = P s a í d a P e n t r a d a × 100

Em que a potência de entrada é a soma da potência de saída somado com as perdas na linha de transmissão e no enrolamento do transformador.

P e n t r a d a = P s a í d a + P p e r d a s

Da mesma forma que a regulação de tensão, se queremos calcular o rendimento do sistema, devemos considerar a perda de todos os elementos do sistema (linha de transmissão + transformador).

Nosso sistema é esse:

A potência de saída é a potência ativa na carga, ou seja,

P s a i d a = 90   k W

Já as perdas estão relacionadas às resistências da linha e do transformador. Logo,

P p e r d a s = R l i n h a I l i n h a 2 + R T I C 2

Então, precisamos calcular I l i n h a em ampéres. Como esta corrente está no trecho 1, temos:

I l i n h a A = I C ( p u ) × I b a s e 1

I l i n h a A = 1,105 × 7,143

I l i n h a A = 7,89   A

Logo, nossas perdas serão:

P p e r d a s = 40 × 7,89 2 + ( 0,12 × 46,03 2 )

P p e r d a s = 2490,08 + 254,25

P p e r d a s = 2744,33

P p e r d a s = 2,744   k W

Então, a potência de entrada ser��:

P e n t r a d a = P s a í d a + P p e r d a s

P e n t r a d a = 90 + 2,744

P e n t r a d a = 92,744   k W

Finalmente, o rendimento do sistema será:

η = P s a í d a P e n t r a d a × 100

η = 90 92,744 × 100

η = 97,04   %

Resposta

a   V G = 14,433 ∠ 3,72 °   k V

b   R T = 0,73   %

c   η = 97,04   %

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