Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 9, Questão 13

Passo 1

Devemos começar achando os pontos críticos. Primeiro vamos calcular as derivadas da função. Para derivada em relação a x :

f x = 3 2 x e - x 2 - y 2 + 3 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2 - 2 x =

6 x e - x 2 - y 2 - 6 x x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2

f x = 6 x e - x 2 - y 2 1 - x 2 + 3 y 2

Para a derivada em relação a y :

f y = 3 6 y e - x 2 - y 2 + 3 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2 - 2 y =

18 y e - x 2 - y 2 - 6 y x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2

f y = 6 y e - x 2 - y 2 3 - x 2 + 3 y 2

Então os pontos críticos são aquele que

6 x e - x 2 - y 2 1 - x 2 + 3 y 2 = 0

6 y e - x 2 - y 2 3 - x 2 + 3 y 2 = 0

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Passo 2

Para que as equações do passo 2 sejam verdadeiras, precisamos que

6 x e - x 2 - y 2 = 0

Ou

1 - x 2 + 3 y 2 = 0

E

6 y e - x 2 - y 2 = 0

Ou

3 - x 2 + 3 y 2 = 0

A exponencial é sempre diferente de zero, assim, temos

6 x = 0 ⇒ x = 0

6 y = 0 ⇒ y = 0

Portanto, já temos nosso primeiro ponto crítico:

P 0 = ( 0,0 )

Continuando a resolução das equações que faltam:

1 - x 2 + 3 y 2 = 0 ⇒ x 2 + 3 y 2 = 1

3 - x 2 + 3 y 2 = 0 ⇒ x 2 + 3 y 2 = 3

Igualando as duas, teríamos

1 = 3

Mas isso é impossível né?? Então essas duas parcelas não podem ser iguais a zero ao mesmo tempo. Assim, se tivermos:

x 2 + 3 y 2 = 1

Precisamos que

6 y = 0

Para que ao mesmo tempo f x e f y . Assim, vamos ter

y = 0

E, portanto:

x 2 + 3 ⋅ 0 = 1 ⟹ x = ± 1

Ou seja, temos mais dois pontos críticos 1,0 e - 1,0 .

Da mesma forma, se temos:

x 2 + 3 y 2 = 3

Precisamos que:

6 x = 0 ⟹ x = 0

Assim:

0 + 3 y 2 = 3 ⟹ y = ± 1

Agora, novamente mais dois pontos críticos 0,1 e 0 , - 1 . Dessa, forma temos 5 pontos críticos:

0,0 , 1,0 , - 1,0 , 0,1 , 0 , - 1

Passo 3

Agora devemos calcular o determinante de

H P = f x x P f x y P f y x P f y y P

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 6 x e - x 2 - y 2 1 - x 2 + 3 y 2 = 6 e - x 2 - y 2 + 6 x - 2 x e - x 2 - y 2 - ( 6 e - x 2 - y 2 + 6 x - 2 x e - x 2 - y 2 ) x 2 + 3 y 2 + 2 x . 6 x e - x 2 - y 2

f x x = 6 e - x 2 - y 2 - 12 x 2 e - x 2 - y 2 - 6 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2 + 12 x 2 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2 - 12 x 2 e - x 2 - y 2

f x x = 6 e - x 2 - y 2 - 24 x 2 e - x 2 - y 2 - 6 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2 + 12 x 2 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 6 y e - x 2 - y 2 3 - x 2 + 3 y 2 = 18 e - x 2 - y 2 + 18 y - 2 y e - x 2 - y 2 - 6 e - x 2 - y 2 + 6 y - 2 y e - x 2 - y 2 ) x 2 + 3 y 2 + 6 y . 6 y e - x 2 - y 2

f y y = 18 e - x 2 - y 2 - 36 y 2 e - x 2 - y 2 - 6 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2 + 12 y 2 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2 - 36 y 2 e - x 2 - y 2

f y y = 18 e - x 2 - y 2 - 72 y 2 e - x 2 - y 2 - 6 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2 + 12 y 2 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 6 y e - x 2 - y 2 3 - x 2 + 3 y 2 = 3 - 2 x e - x 2 - y 2 - - 2 x e - x 2 - y 2 x 2 + 3 y 2 + 6 y e - x 2 - y 2 - 2 x

f x y = - 6 x e - x 2 - y 2 + 2 x x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2 + 12 x y e - x 2 - y 2

Passo 4

Agora, vamos ao teste da derivada segunda, para o ponto crítico P 0 = 0,0 :

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

f x x ( 0,0 ) = 6 e - 0 2 - 0 2 - 24 . 0 2 e - 0 2 - 0 2 - 6 0 2 + 3 . 0 2 e - 0 2 - 0 2 + 12 . 0 2 0 2 + 3 . 0 2 e - 0 2 - 0 2

f x x ( 0,0 ) = 6

f y y ( 0,0 ) = 18 e - 0 2 - 0 2 - 72 . 0 2 e - 0 2 - 0 2 - 6 0 2 + 3 . 0 2 e - 0 2 - 0 2 + 12 . 0 2 0 2 + 3 . 0 2 e - 0 2 - 0 2

f y y ( 0,0 ) = 18

f x y ( 0,0 ) = - 6.0 e - 0 2 - 0 2 + 2.0 0 2 + 3 . 0 2 e - 0 2 - 0 2 + 12.0 . 0 e - 0 2 - 0 2

f x y ( 0,0 ) = - 6

Assim,

H 0,0 = 6 - 6 - 6 18 = 6.18 - - 6 - 6 = 72 > 0

Como H ( P 0 ) é maior que zero, temos que analisar o sinal de f x x .

f x x P 0 = f x x 0,0 = 6 > 0

Logo, P 0 = 0,0 é ponto de mínimo local.

Passo 5

Agora temos que analisar se P 0 é também ponto de mínimo global.

Vamos tentar provar que f ( P 0 ) é o menor valor que a função pode assumir.

f x , y = 3 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2

Como a função possui termos elevados a expoentes pares, temos que

x 2 + 3 y 2 ≥ 0

Além disso, a exponencial também é sempre maior ou igual a zero, independente do expoente:

e - x 2 - y 2 ≥ 0

Assim

f x , y ≥ 0

E, como

f 0,0 = 3 0 2 + 3 . 0 2 e - 0 2 - 0 2 = 0

Então P 0 = ( 0,0 ) é ponto de mínimo global também.

Passo 6

Agora vamos testar para P 1 = 1,0 :

H P 1 = f x x P 1 f x y P 1 f y x P 1 f y y P 1

Para f x x :

f x x ( 1 , 0 ) = 6 e - 1 2 - 0 2 - 24 . 1 2 e - 1 2 - 0 2 - 6 1 2 + 3 . 0 2 e - 1 2 - 0 2 + 12 . 1 2 1 2 + 3 . 0 2 e - 1 2 - 0 2

f x x 1,0 = 6 e - 1 - 24 e - 1 - 6 e - 1 + 12 e - 1 = - 12 e - 1

Para f y y :

18 e - x 2 - y 2 - 72 y 2 e - x 2 - y 2 - 6 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2 + 12 y 2 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2

f y y 1 , 0 = 18 e - 1 - 6 e - 1 = 12 e - 1

Para f x y :

f x y ( 1 , 0 ) = - 6 . 1 e - 1 2 - 0 2 + 2 . 1 1 2 + 3 . 0 2 e - 1 2 - 0 2 + 12 . 1 . 0 e - 1 2 - 0 2

f x y 0,0 = - 6 e - 1 + 2 e - 1 = - 4 e - 1

Assim,

H 1 , 0 = - 12 e - 1 - 4 e - 1 - 4 e - 1 12 e - 1 = - 144 e - 2 - 16 e - 2 = - 1 60 e - 2 < 0

Como H ( P 0 ) é menor que zero, 1,0 é um ponto de cela. x sempre aparece ao quadrado nas derivadas, exceto em f x y , porém, no determinante de H 1,0 , teremos f x y 2 , então o sinal não muda e o mesmo pode ser afirmado para - 1,0 .

Passo 7

Vamos testar agora para o ponto P 2 = 0,1 . Neste caso, vamos ter:

H P 2 = f x x P 2 f x y P 2 f y x P 2 f y y P 2

Para f x x :

f x x ( 0 , 1 ) = 6 e - 0 2 - 1 2 - 24 . 0 2 e - 0 2 - 1 2 - 6 0 2 + 3 . 1 2 e - 0 2 - 1 2 + 12 . 0 2 0 2 + 3 . 1 2 e - 0 2 - 1 2

f x x 0 , 1 = 6 e - 1 - 18 e - 1 = - 12 e - 1

Para f y y :

f y y = 18 e - x 2 - y 2 - 72 y 2 e - x 2 - y 2 - 6 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2 + 12 y 2 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2

f y y 0,1 = 18 e - 1 - 72 e - 1 - 18 e - 1 + 36 e - 1 = - 36 e - 1

Para f x y :

f x y ( 0,1 ) = - 6 . 0 e - 0 2 - 1 2 + 2 . 0 0 2 + 3 . 1 2 e - 0 2 - 1 2 + 12 . 0 . 1 e - 0 2 - 1 2

f x y ( 0,1 ) = 0

Dessa forma, teremos:

H P 2 = - 12 e - 1 0 0 - 36 e - 1 = 432 e - 2 > 0

Como é maior que zero, analisamos f x x . Pelo valor calculado:

f x x 0,1 = 6 e - 1 - 18 e - 1 = - 12 e - 1 < 0

Então temos que 0,1 é um ponto de máximo local. O mesmo pode ser afirmado de 0 , - 1 .

Passo 8

Vamos verificar agora se o máximo é global. Temos que:

f x , y = 3 x 2 + 3 y 2 e - x 2 - y 2

f 0,1 = f 0 , - 1 = 3 0 + 3 ⋅ 1 2 e - 0 2 - 1 2 = 9 e - 1

Como a função tende para zero para x , y grandes e os outros pontos críticos ou são sela ou são pontos de mínimo, segue que esses pontos são pontos de máximo globais da função. 😊

Resposta

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