Classificação de Pontos Críticos no R³

Teoria Completa

Vamos ver como classificar os pontos críticos de funções f ( x , y , z ) . Pra isso, temos que analisar o sinal dos autovalores de uma matriz 3 x 3 . A matriz é a seguinte:

f x x P 0 f x y P 0 f x z P 0 f y x P 0 f y y P 0 f y z P 0 f z x P 0 f z y P 0 f z z P 0

Ela é chamada de matriz Hessiana.

Beleza! Mas e aquela história de autovalores? Bem, temos que achar os autovalores dessas matrizes e depois é só analisar isso aqui:

  1. Se todos os autovalores são positivos, então temos um ponto de mínimo;
  2. Se todos os autovalores são negativos, então temos um ponto de máximo;
  3. Se os autovalores alternam entre positivos e negativos, então temos um ponto de sela.

Por exemplo, vamos classificar os pontos críticos da função

  f x , y , z = x 2 - y 2 + z 2 - 2 x + 3 y + z

Calculando as derivadas parciais e igualando elas a zero, temos:

f x = 2 x - 2 = 0 ⇒ 2 x = 2 f y = - 2 y + 3 = 0 ⇒ 2 y = 3 f z = 2 z + 1 = 0 ⇒ 2 z = - 1

Daí concluímos que:

x = 1 y = 3 2 z = - 1 2

Portanto, f tem um único ponto crítico, o ponto

P 0 = 1 , 3 2 ,   - 1 2

Agora temos que calcular as derivadas segundas da f .

Repare que f x só depende de x , f y só depende de y e f z só depende de z . Então, todas as derivadas parciais mistas valem zero!

f x y = f y x = f x z = f z x = f y z = f z y = 0

Isso pra qualquer ponto, então pro nosso P 0 também. E pras outras derivadas parciais de segunda ordem, temos

f x x = 2 f y y = - 2 f z z = 2

Daí a nossa matriz hessiana vai ser:

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f x z P 0 f y x P 0 f y y P 0 f y z P 0 f z x P 0 f z y P 0 f z z P 0 = 2 0 0 0 - 2 0 0 0 2

Agora basta achar os autovalores dessa matriz. Para isso, precisamos resolver o determinante da matriz hessiana subtraída da matriz identidade, multiplicada por λ , e igualar esse determinante a zero. Ou seja:

det ⁡ H ( P 0 ) - λ I = 0

det ⁡ 2 0 0 0 - 2 0 0 0 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 2 - λ 0 0 0 - 2 - λ 0 0 0 2 - λ = 0

2 - λ - 2 - λ 2 - λ = 0

2 - λ 2 - 2 - λ = 0

⇒ λ = 2     o u     λ = - 2

Temos 2 autovalores positivos valendo 2 , e um negativo valendo - 2 .

Portanto, o ponto 1 , 3 2 ,   - 1 2 é um ponto de sela!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Identifique e classifique os pontos críticos da seguinte função:

f x , y , z = x 3 + y 3 + z 3 - 3 x - 3 y - 3 z + 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro temos que calcular gradiente:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

⇒ ∇ f x , y , z = 3 x 2 - 3,3 y 2 - 2,3 z 2 - 3

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

∇ f = 0 →

3 x 2 - 3,3 y 2 - 3,3 z 2 - 3 = 0,0 , 0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

3 x 2 - 3 = 0 → x = ± 1

3 y 2 - 3 = 0 → y = ± 1

3 z 2 - 3 = 0 → z = ± 1

Então os pontos críticos são

1,1 , 1

1,1 , - 1

1 , - 1,1

1 , - 1 , - 1

- 1,1 , 1

- 1,1 , - 1

- 1 , - 1,1

- 1 , - 1 , - 1

É gente, são OITO PONTOS CRÍTICOS, nessa hora vamos respirar e relaxa, porque a conta para cada um deles é igual fique tranquilo.

Passo 4

Agora vamos achar a matriz Hessiana nesses pontos críticos. Lembra como ela é?

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f x z P 0 f y x P 0 f y y P 0 f y z P 0 f z x P 0 f z y P 0 f z z P 0

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

f x x = 6 x

f y y = 6 y

f z z = 6 z

f x z = f z x = 0

f x y = f y x = 0

f y z = f z y = 0

A matriz Hessiana vai ficar

H = 6 x 0 0 0 6 y 0 0 0 6 z

Temos que fazer a conta para os 8 pontos, vamos ter

H 1,1 , 1 = 6 0 0 0 6 0 0 0 6

E

H 1,1 , - 1 = 6 0 0 0 6 0 0 0 - 6

E

H 1 , - 1,1 = 6 0 0 0 - 6 0 0 0 6

E

H 1 , - 1 , - 1 = 6 0 0 0 - 6 0 0 0 - 6

E

H - 1,1 , 1 = - 6 0 0 0 6 0 0 0 6

E

H - 1,1 , - 1 = - 6 0 0 0 6 0 0 0 - 6

E

H - 1 , - 1,1 = - 6 0 0 0 - 6 0 0 0 6

E

H - 1 , - 1 , - 1 = - 6 0 0 0 - 6 0 0 0 - 6

Passo 5

Vamos agora achar os autovalores dessas Hessianas, vamos começar pelo ponto 1,1 , 1 para isso vamos resolver

6 - λ 0 0 0 6 - λ 0 0 0 6 - λ = 0

6 - λ 6 - λ 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = 6

λ 2 = 6

λ 3 = 6

Todos os autovalores são positivos, então temos um ponto de mínimo em ( 1,1 , 1 )

Passo 6

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de 1,1 , - 1

6 - λ 0 0 0 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ = 0

6 - λ 6 - λ - 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = 6

λ 2 = 6

λ 3 = - 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( 1,1 , - 1 )

Passo 7

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de 1 , - 1,1

6 - λ 0 0 0 - 6 - λ 0 0 0 6 - λ = 0

6 - λ - 6 - λ 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = 6

λ 2 = - 6

λ 3 = 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( 1,1 , - 1 )

Passo 8

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de 1 , - 1 , - 1

6 - λ 0 0 0 - 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ = 0

6 - λ - 6 - λ - 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = 6

λ 2 = - 6

λ 3 = - 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( 1 , - 1 , - 1 )

Passo 9

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de - 1,1 , 1

- 6 - λ 0 0 0 6 - λ 0 0 0 6 - λ = 0

- 6 - λ 6 - λ 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = - 6

λ 2 = 6

λ 3 = 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( - 1,1 , 1 )

Passo 10

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de - 1,1 , - 1

- 6 - λ 0 0 0 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ = 0

- 6 - λ 6 - λ - 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = - 6

λ 2 = 6

λ 3 = - 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( - 1,1 , - 1 )

Passo 11

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de - 1 , - 1,1

- 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ 0 0 0 6 - λ = 0

- 6 - λ - 6 - λ 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = - 6

λ 2 = - 6

λ 3 = 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( - 1 , - 1,1 )

Passo 12

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de - 1 , - 1 , - 1

- 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ = 0

- 6 - λ - 6 - λ - 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = - 6

λ 2 = - 6

λ 3 = - 6

Todos os autovalores são negativos, então temos um ponto de máximo em ( - 1 , - 1 , - 1 )

Resposta

Pontos de sela: 1,1 , - 1

1 , - 1,1

1 , - 1 , - 1

- 1,1 , 1

- 1,1 , - 1

- 1 , - 1,1

Pontos de máximo:

- 1 , - 1 , - 1

Pontos de mínimo:

1,1 , 1

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Identifique e classifique os pontos críticos da seguinte função:

f x , y , z = x 3 + 2 x y + y 2 + z 2 - 5 x - 4 z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro temos que calcular gradiente:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

⇒ ∇ f x , y , z = 3 x 2 + 2 y - 5,2 y + 2 x , 2 z - 4

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

∇ f = 0 →

3 x 2 + 2 y - 5,2 y + 2 x , 2 z - 4 = 0,0 , 0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

3 x 2 + 2 y - 5 = 0

2 y + 2 x = 0

2 z - 4 = 0

Pela terceira equação vamos ter

z = 2

Temos que achar x e y dos pontos agora, pela segunda equação vamos ter

y = - x

Substituindo na primeira equação

3 x 2 + 2 - x - 5 = 0

3 x 2 - 2 x - 5 = 0

x = 2 ± - 2 2 - 4 3 - 5 2.3 = 2 ± 4 + 60 6 = 2 ± 64 6 = 2 ± 8 6

Vamos achar os seguintes valores de x

x = 5 3         o u         x = - 1

E os valores correspondentes de y vão ser

y = - 5 3         o u         y = 1

Então os pontos críticos são

- 1,1 , 2

5 3 , - 5 3 , 2

Passo 4

Agora vamos achar a matriz Hessiana nesses pontos críticos. Lembra como ela é?

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f x z P 0 f y x P 0 f y y P 0 f y z P 0 f z x P 0 f z y P 0 f z z P 0

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

3 x 2 + 2 y - 5,2 y + 2 x , 2 z - 4

f x x = 6 x

f y y = 2

f z z = 2

f x z = f z x = 0

f x y = f y x = 2

f y z = f z y = 0

A matriz Hessiana vai ficar

H = 6 x 2 0 2 2 0 0 0 2

Temos que fazer a conta para os 2 pontos, vamos ter

H - 1,1 , 2 = - 6 2 0 2 2 0 0 0 2

E

H 5 3 , - 5 3 , 2 = 10 2 0 2 2 0 0 0 2

Passo 5

Vamos agora achar os autovalores dessas Hessianas, vamos começar pelo ponto - 1,1 , 2 para isso vamos resolver

- 6 - λ 2 0 2 2 - λ 0 0 0 2 - λ = 0

- 6 - λ 2 - λ 2 - λ - 2.2 2 - λ = 0

- 6 - λ 2 - λ 2 - λ - 4 2 - λ = 0

2 - λ - 6 - λ 2 - λ - 4 = 0

2 - λ - 12 + 4 λ + λ 2 - 4 = 0

2 - λ λ 2 + 4 λ - 16 = 0

2 - λ = 0         o u         λ 2 + 4 λ - 16 = 0

Resolvendo a segunda equação vamos ter

λ = - 4 ± 4 2 - 4 - 16 2 = - 4 ± 16 + 64 2 = - 4 ± 80 2 = - 4 ± 4 5 2 = - 2 ± 2 5

Então os autovalores são

λ 1 = 2

λ 2 = - 2 - 2 5

λ 3 = - 2 + 2 5

Repara que λ 2 é negativo e λ 3 é positivo, então os autovalores estão trocando entre positivo e negativo, isso nos diz que temos um pontos de sela em - 1,1 , 2

Passo 6

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de 5 3 , - 5 3 , 2

10 - λ 2 0 2 2 - λ 0 0 0 2 - λ = 0

10 - λ 2 - λ 2 - λ - 2.2 2 - λ = 0

10 - λ 2 - λ 2 - λ - 4 2 - λ = 0

2 - λ 10 - λ 2 - λ - 4 = 0

2 - λ 20 - 12 λ + λ 2 - 4 = 0

2 - λ λ 2 - 12 λ + 16 = 0

2 - λ = 0         o u         λ 2 + 4 λ - 16 = 0

Resolvendo a segunda equação vamos ter

λ = 12 ± - 12 2 - 4 16 2 = 12 ± 144 - 64 2 = 12 ± 80 2 = 12 ± 4 5 2 = 6 ± 2 5

Então os autovalores são

λ 1 = 2

λ 2 = 6 - 2 5

λ 3 = 6 + 2 5

Conseguimos perceber que λ 3 e λ 1 são positivos, mas e aquele cada com subtração? Repara que

2 5 2 = 20

E

6 2 = 36

Então vamos ter aquela subtração sendo positiva, isso nos diz que todos os autovalores são positivos, então temos um ponto de mínimo em 5 3 , - 5 3 , 2

Resposta

Pontos de sela: - 1,1 , 2

Pontos de mínimo: 5 3 , - 5 3 , 2

Exercício Resolvido #3

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 318, exercício 15a

Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y , z

f x , y , z = x 2 + 5 y 2 + 2 z 2 + 4 x y - 2 x - 4 y - 8 z + 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Calcular as derivas parciais de f :

f x = 2 x + 4 y - 2

f y = 10 y + 4 x - 4

f z = 4 z - 8

Passo 2

Igualar a zero:

f x = 0

2 x + 4 y - 2 = 0

2 x + 4 y = 2

x + 2 y = 1

Pra f y :

f y = 0

10 y + 4 x - 4 = 0

10 y + 4 x = 4

5 y + 2 x = 2

Pra f z :

f z = 0

4 z - 8 = 0

4 z = 8

z = 2

Passo 3

z já deu pra definir, agora temos que resolver um sisteminha pra achar x e y :

x + 2 y = 1 5 y + 2 x = 2

Pela 1ª equação, x = 1 - 2 y . Substituindo na 2ª:

5 y + 2 1 - 2 y = 2

5 y + 2 - 4 y = 2

y + 2 = 2

y = 0

Ou seja,

x = 1 - 0 = 1

Portanto, f só tem um ponto crítico, o ponto 1 ,   0 ,   2 .

Passo 4

Agora calculemos as derivadas parciais de segunda ordem! Temos

f x = 2 x + 4 y - 2

Logo,

f x x = 2 f x y = 4 f x z = 0

Passo 5

Continuando:

f y = 10 y + 4 x - 4

⇒ f y x = 4 f y y = 10 f y z = 0

Passo 6

Por fim:

f z = 4 z - 8

⇒ f z x = 0 f z y = 0 f z z = 4

Passo 7

Repare que nenhuma das derivadas parciais de segunda ordem depende das coordenadas x , y e z . Então a nossa matriz hessiana é:

2 4 0 4 10 0 0 0 4

Agora, pra achar os autovalores λ dela, resolvemos a equação

2 - λ 4 0 4 10 - λ 0 0 0 4 - λ = 0

E isso dá:

2 - λ 10 - λ 4 - λ + 0 + 0 - 0 - 0 - 4 - λ 4 4 = 0

2 - λ 10 - λ 4 - λ = 16 4 - λ

Passo 8

Então ou 4 - λ = 0 ⇒ λ = 4 , ou:

2 - λ 10 - λ = 16

Desenvolvendo,

20 - 2 λ - 10 λ + λ 2 = 16

λ 2 - 12 λ + 4 = 0

λ = 12 ± 12 2 - 4 1 4 2

λ = 6 ± 144 - 16 2

λ = 6 ± 128 2

λ = 6 ± 4 32 2

λ = 6 ± 32

Passo 9

Show, então obtivemos os 3 autovalores:

λ = 4

  λ = 6 + 32

λ = 6 - 32