Classificação de Pontos Críticos no R³

Teoria Completa

Vamos ver como classificar os pontos críticos de funções f ( x , y , z ) . Pra isso, temos que analisar o sinal dos autovalores de uma matriz 3 x 3 . A matriz é a seguinte:

f x x P 0 f x y P 0 f x z P 0 f y x P 0 f y y P 0 f y z P 0 f z x P 0 f z y P 0 f z z P 0

Ela é chamada de matriz Hessiana.

Beleza! Mas e aquela história de autovalores? Bem, temos que achar os autovalores dessas matrizes e depois é só analisar isso aqui:

  1. Se todos os autovalores são positivos, então temos um ponto de mínimo;
  2. Se todos os autovalores são negativos, então temos um ponto de máximo;
  3. Se os autovalores alternam entre positivos e negativos, então temos um ponto de sela.

Por exemplo, vamos classificar os pontos críticos da função

  f x , y , z = x 2 - y 2 + z 2 - 2 x + 3 y + z

Calculando as derivadas parciais e igualando elas a zero, temos:

f x = 2 x - 2 = 0 ⇒ 2 x = 2 f y = - 2 y + 3 = 0 ⇒ 2 y = 3 f z = 2 z + 1 = 0 ⇒ 2 z = - 1

Daí concluímos que:

x = 1 y = 3 2 z = - 1 2

Portanto, f tem um único ponto crítico, o ponto

P 0 = 1 , 3 2 ,   - 1 2

Agora temos que calcular as derivadas segundas da f .

Repare que f x só depende de x , f y só depende de y e f z só depende de z . Então, todas as derivadas parciais mistas valem zero!

f x y = f y x = f x z = f z x = f y z = f z y = 0

Isso pra qualquer ponto, então pro nosso P 0 também. E pras outras derivadas parciais de segunda ordem, temos

f x x = 2 f y y = - 2 f z z = 2

Daí a nossa matriz hessiana vai ser:

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f x z P 0 f y x P 0 f y y P 0 f y z P 0 f z x P 0 f z y P 0 f z z P 0 = 2 0 0 0 - 2 0 0 0 2

Agora basta achar os autovalores dessa matriz. Para isso, precisamos resolver o determinante da matriz hessiana subtraída da matriz identidade, multiplicada por λ , e igualar esse determinante a zero. Ou seja:

det ⁡ H ( P 0 ) - λ I = 0

det ⁡ 2 0 0 0 - 2 0 0 0 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 2 - λ 0 0 0 - 2 - λ 0 0 0 2 - λ = 0

2 - λ - 2 - λ 2 - λ = 0

2 - λ 2 - 2 - λ = 0

⇒ λ = 2     o u     λ = - 2

Temos 2 autovalores positivos valendo 2 , e um negativo valendo - 2 .

Portanto, o ponto 1 , 3 2 ,   - 1 2 é um ponto de sela!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Identifique e classifique os pontos críticos da seguinte função:

f x , y , z = x 3 + y 3 + z 3 - 3 x - 3 y - 3 z + 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro temos que calcular gradiente:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

⇒ ∇ f x , y , z = 3 x 2 - 3,3 y 2 - 2,3 z 2 - 3

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

∇ f = 0 →

3 x 2 - 3,3 y 2 - 3,3 z 2 - 3 = 0,0 , 0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

3 x 2 - 3 = 0 → x = ± 1

3 y 2 - 3 = 0 → y = ± 1

3 z 2 - 3 = 0 → z = ± 1

Então os pontos críticos são

1,1 , 1

1,1 , - 1

1 , - 1,1

1 , - 1 , - 1

- 1,1 , 1

- 1,1 , - 1

- 1 , - 1,1

- 1 , - 1 , - 1

É gente, são OITO PONTOS CRÍTICOS, nessa hora vamos respirar e relaxa, porque a conta para cada um deles é igual fique tranquilo.

Passo 4

Agora vamos achar a matriz Hessiana nesses pontos críticos. Lembra como ela é?

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f x z P 0 f y x P 0 f y y P 0 f y z P 0 f z x P 0 f z y P 0 f z z P 0

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

f x x = 6 x

f y y = 6 y

f z z = 6 z

f x z = f z x = 0

f x y = f y x = 0

f y z = f z y = 0

A matriz Hessiana vai ficar

H = 6 x 0 0 0 6 y 0 0 0 6 z

Temos que fazer a conta para os 8 pontos, vamos ter

H 1,1 , 1 = 6 0 0 0 6 0 0 0 6

E

H 1,1 , - 1 = 6 0 0 0 6 0 0 0 - 6

E

H 1 , - 1,1 = 6 0 0 0 - 6 0 0 0 6

E

H 1 , - 1 , - 1 = 6 0 0 0 - 6 0 0 0 - 6

E

H - 1,1 , 1 = - 6 0 0 0 6 0 0 0 6

E

H - 1,1 , - 1 = - 6 0 0 0 6 0 0 0 - 6

E

H - 1 , - 1,1 = - 6 0 0 0 - 6 0 0 0 6

E

H - 1 , - 1 , - 1 = - 6 0 0 0 - 6 0 0 0 - 6

Passo 5

Vamos agora achar os autovalores dessas Hessianas, vamos começar pelo ponto 1,1 , 1 para isso vamos resolver

6 - λ 0 0 0 6 - λ 0 0 0 6 - λ = 0

6 - λ 6 - λ 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = 6

λ 2 = 6

λ 3 = 6

Todos os autovalores são positivos, então temos um ponto de mínimo em ( 1,1 , 1 )

Passo 6

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de 1,1 , - 1

6 - λ 0 0 0 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ = 0

6 - λ 6 - λ - 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = 6

λ 2 = 6

λ 3 = - 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( 1,1 , - 1 )

Passo 7

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de 1 , - 1,1

6 - λ 0 0 0 - 6 - λ 0 0 0 6 - λ = 0

6 - λ - 6 - λ 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = 6

λ 2 = - 6

λ 3 = 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( 1,1 , - 1 )

Passo 8

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de 1 , - 1 , - 1

6 - λ 0 0 0 - 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ = 0

6 - λ - 6 - λ - 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = 6

λ 2 = - 6

λ 3 = - 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( 1 , - 1 , - 1 )

Passo 9

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de - 1,1 , 1

- 6 - λ 0 0 0 6 - λ 0 0 0 6 - λ = 0

- 6 - λ 6 - λ 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = - 6

λ 2 = 6

λ 3 = 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( - 1,1 , 1 )

Passo 10

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de - 1,1 , - 1

- 6 - λ 0 0 0 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ = 0

- 6 - λ 6 - λ - 6 - λ = 0

Então os autovalores são

λ 1 = - 6

λ 2 = 6

λ 3 = - 6

Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em ( - 1,1 , - 1 )

Passo 11

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de - 1 , - 1,1

- 6 - λ 0 0 0 - 6 - λ 0 0 0 6 - λ = 0