Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

  1. O núcleo e o espaço linha de uma matriz real A k × n são subespaços do R n e a soma de suas dimensões é igual a n .
  2. O espaço linha e o espaço coluna de qualquer matriz real A m × k são subespaços, respectivamente, do R k e do R m , e suas dimensões são iguais.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa

Passo 1

Afirmativa I

Galera, pra resolver essa questão é essencial que você se lembre do seguinte:

N u c A = I m A T ⊥

E que:

I m A T = N u c A ⊥

Por que isso? Porque repara que essa afirmativa trata do núcleo da nossa matriz A e do seu espaço linha! Mas o espaço linha é justamente o espaço coluna da transposta! Ou seja, sua imagem.

Como a matriz é k × n ela é R n → R k , ou seja, o núcleo está no R n . A transposta será n × k , R k → R n , então sua imagem estará também no R n . Então a primeira parte da afirmativa ta certinha.

A segunda parte diz que a soma de suas dimensões é igual a n , e de fato sabemos que a soma de um espaço e seu complemento ortogonal é direta! Ou seja, eles formam todo o espaço em que estão contidos, no caso o R n . E como um é complemento do outro então a soma de suas dimensões será igual a n !

Então essa afirmativa é verdadeira.

Passo 2

Afirmativa I I

Essa questão já sai dessa história de complemento ortogonal e volta lá pro começo da matéria haha.

Nossa matriz A é m × k , então a imagem (espaço coluna) está no R m . Já o espaço linha (imagem da transposta) fica no R k . Então a primeira parte da afirmação está correta!

A segunda parte diz que as dimensões delas são iguais, e nós sabemos que isso é verdade! O espaço linha e o espaço coluna de uma matriz terão sempre a mesma dimensão!!!

Resposta

Letra ( b )