Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

Seja U um subespaço de R 4 e V o seu complemento ortogonal. Podemos afirmar que:

a   Existe um vetor de R 4 que não pertence à soma de U e V .

b   A dimensão de U é maior ou igual à dimensão de V

c   Se as linhas de uma matriz A formam uma base para U , então I m A = V ⊥

d   Se as linhas de uma matriz A formam uma base para U , então N u c A = V .

Passo 1

Vamos analisar letra por letra.

a   Sabemos que a soma de U e V gera o R 4 inteiro, pois a soma das dimensões tem que dar o espaço todo em que se encontram. Então essa é falsa, não tem como um vetor do R 4 não pertencer ao R 4 haha

Passo 2

b   Se por acaso U tiver dimensão igual a 1 , então o seu complemento terá dimensão 3 , não é necessário que a dimensão de U seja maior que a de V e sim que:

dim ⁡ U + dim ⁡ V = dim ⁡ R 4

Passo 3

c   Sabemos que para achar o complemento ortogonal de um conjunto, basta fazermos o produto interno de um vetor genérico do espaço (no caso o R 4 ) com os vetores de U . Em matrizes isso fica:

Sendo { u 1 , … , u k } base de U

← u 1 →   ⋮   ← u k → ⋅ x 1 ⋮ x n = 0

A = ← u 1 →   ⋮   ← u k →

E portanto, temos:

A T = ↑ ⋯ ↑ u 1 ⋯ u k ↓ ⋯ ↓

Logo podemos dizer que a imagem de A T , seria igual à U , que é o complemento ortogonal de V :

U = I m A T = V ⊥

Então essa também é falsa.

Passo 4

d   Sabemos que o sistema homogêneo:

← u 1 →   ⋮   ← u k → ⋅ x 1 ⋮ x n = 0

é o complemento ortogonal de U , ou seja, V . Então o núcleo da matriz A é V :

N u c A = V

E essa é a opção correta.

Resposta

Letra d