Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

Seja U um subespaço de R 4 e V o seu complemento ortogonal. Podemos afirmar que:

a   Existe um vetor de R 4 que não pertence à soma de U e V .

b   A dimensão de U é maior ou igual à dimensão de V

c   Se as linhas de uma matriz A formam uma base para U , então I m A = V ⊥

d   Se as linhas de uma matriz A formam uma base para U , então N u c A = V .

Passo 1

Vamos analisar letra por letra.

Letra ( a )

Sabemos que a soma de U e V gera o R 4 inteiro já que um é o complemento ortogonal do outro! Logo, é impossível algum vetor do R 4 não pertencer à soma deles.

Letra ( b )

Se por acaso U tiver dimensão igual a 1 , então o seu complemento terá dimensão 3 , não é necessário que a dimensão de U seja maior que a de V e sim que:

dim ⁡ U + dim ⁡ V = dim ⁡ R 4

Não podemos afirmar isso então.

Passo 2

Letra ( c )

O enunciado nos diz que:

U = V ⊥

Já a letra nos diz que:

I m A = V ⊥

Logo, temos que:

I m A = U

A letra c também nos diz que as linhas de A formam uma base para U . Para que I m A = U , precisaríamos que as colunas de A formassem uma base para U . Logo, essa é falsa.

Passo 3

Letra ( d )

Se as linhas da matriz A formam uma base para U , o que acontece com A T ?

Bom, quando achamos a transposta, as linhas viram as colunas. Então as colunas de A T são uma base para U . Ou seja, I m A T = U .

O enunciado nos diz que:

U = V ⊥

E usando aquela nossa relação mega importante que eu sei que vocês nunca vão se esquecer temos que:

I m A T = N u c A ⊥

Isso nos diz que:

N u c A = V

E essa é a opção correta.

Resposta

Letra ( d )